容斥原理--最值
一、三样最少题型：
1 线段图法
小明、小强、小华三人给100盆花浇水。小明浇水78盆，小华浇水65盆，小强浇水61盆。
请问最少有多少盆花被浇了三次？我们看一下，总共是100盆，但是三个人所浇的水的次数远远大于100次，所以有些花会被重复浇多次，为了让三个人所交浇的花，重复三次的情况尽可能的少。那么也就是说理想状态下尽量，让这些花只被浇到两次尽可能的多。
从图中我们可以看出，把它们尽量错开，就能达到三次重复次数最少的目的。
61-22-35=4（盆）
2 反向容斥
一个班有42个学生，其中会游泳的有30人，会打乒乓的有29人，会下象棋的有27人，
那么三项运动都会的至少有几人？班里的总人数是42人，这是一个不变量，因此将班里分成两类人，一类是全能人（三项运动都会的）一类不是全能人（至少有一项运动不会）。所以全能人+不全能人=42
想要全能人最少，那么不全能要最多，因此我们的任务就变成去找那些不全能的人。
30人会游泳，所以12（42-30）人不会游泳，这12人是我们要找的不全能人。
29人会乒乓，所以13（42-29）人不会乒乓，这13人是我们要找的不全能人。
27人会象棋，所以15（42-27）人不会象棋。这15人是我们要找的不全能人。
想要不全能人的人数最多，即12+13+15=40（人）
所以全能的人最少为42-40=2（人）
A∩B∩C最小=N-[(-A)+(-B)+(-C)]
3 最不利原则 (类似抽屉原则) 主要方法
A∩B∩C最小=A+B+C-2N(可由上式得到，也可由下面推理得到)
把全班42个人编号 1、2 、……42。
会一项运动就在编号下打一个√，因此这42个人共要打√ 30+29+27=86（个）。
想要3个√的人少，总√是86不变的，所以按照最不利原则，每个人都打两个√，
86-42×2=2（个），还剩下2个√，无论给谁，都是3项运动都会的。
1 2 3 …… 41 42
√ √ √ …… √ √
√ √ √ …… √ √
√ √
学而思的一场奥数选拔考试，共5题，规定对3题及3题以上的人均能通过考试，
本次考试共100人参加，答对1——5题的分别有80,92,86,78,74人。
这次考试最少有多少为同学通过？解析：利用最不利原则
给100名同学编号1 2 3……100
对1题，打1√。因此共打√80+92+86+78+74=410（个）
对3题以及以上的就算及格，因此要及格的人少，即不及格的人多，对的总题数410题是不变的，因此根据最不利原则不及格的人刚好每人对2题。
1 2 3 …… 99 100
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √
410-2×100=210（个）
剩下的210个√，随便给哪个人都能使其及格，现在要及格的人少，所以这些√要集中给一些人，每人做多还能得到3个√，因此210÷3=70（人），即最少及格的人数为70人（且这70人都是5题全对的。）
某实验班100名学生参加了5次测验，
这五次测验合格人数分别为90，86，78，82和65，
每个同学五次测验至少要有3次及格才不用参加寒假补习，
则不用参加寒假补习的同学至少是多少人？解析：利用最不利原则
给100名同学编号1 2 3……100
对1题，打1√。因此共打√90+86+78+82+65=401（个）
对3次以及以上的就算合格，因此要合格的人少，即不合格的人多，对的总题数401题是不变的，因此根据最不利原则不合格的人刚好每人对2题。
1 2 3 …… 99 100
√ √ √ √ √
√ √ √ √ √
401-2×100=201（个）
剩下的201个√，随便给哪个人都能使其及格，现在要合格的人少，所以这些√要集中给一些人，每人做多还能得到3个√，因此201÷3=67（人），即5次都合格的人是67人，可是观察数据发现第五次合格的人是65人，因此5次合格的最大人数为65人，还剩下2人，即剩下2×3=6题。
1 2 3 …65 66 67 68… 99 100
√ √ √ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
剩下的6题，只能每人分2个√，6÷2=3人
1 2 3 …65 66 67 68… 99 100
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√ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √ √ √ √
√ √ √ √
65+3=68（人）＜78（即能4题都对的最大人数，题目中倒数第二小的数）
因此 合格的最少人数为68人。
二、 会两样的最多题型
解题的核心：只会一样的和三样都会的人数一定要少！
公司有100人，会书法的10人，会唱歌的15人，会跳舞的16人，
问会其中两样的最多有多少人？打勾法，线段图法
因为总人数是足够多的，100人，那么我们就可以这样来列出一个表格，的到最多有20个人符合条件。
大家想一想，如果会书法的人再多一个的话？是不是答案就是21了？那如果再在此基础上多一个呢？其实还是21个！
所以第一种题型的第一种情况：总量足够大的时候：符合两个条件的最多有满足一种条件的人数总和的一半！（向下取整）
计算公式（以基本题型上给出的总量N,满足条件数分别为ABC为例）：
[(A+B+C)/2]
公司有18人，会书法的10人，会唱歌的15人，会跳舞的16人，
问会其中两样的最多有多少人？这里大家注意到了，总人数才18个人，那么上面那个表格的列数就收到了限制，最多只能是18列，这时候我们怎么来排布呢？
打勾法，线段图法
发现了吗？这个时候就像是我们做图形推理的位置类一样，右面没位置了，往下走，结果答案是：13个人。
从上面这个表格，其实细心的同学发现了，什么时候会发生这种情况呢？满足其中一个条件的总数超过了总量的2倍，也就是说人次>2*人数。
计算公式（以基本题型上给出的总量N,满足条件数分别为ABC为例）：
3N-(A+B+C) = N- (A∩B∩C最小=A+B+C-2N)
公司有100人，会书法的10人，会唱歌的5人，会跳舞的16人，
问会其中两样的最多有多少人？细心的同学发现了，跳舞的人数比其他两个加起来的都多，按照第一种情况的假设来列表的话好像变成了
打勾法，线段图法
于是乎，答案变成了10+5=15！
的的确确，这就是此种题型的第三个情况！
当A>B+C的时候，满足两个条件的人数最多就是B+C