商群$$\frac{G}{G_x}$$ 与 轨道G(x) 能建立双射。
例1 求多项式$$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1$$的对称变换群。
设$$X={x_1,x_2,x_3,x_4}$$,G作用在X上，
G中元素$$\tau = (1\ 2\ 3\ 4)$$,
$$\tau x_1 = x_2 , \tau x_2 = x_3 , \tau x_3 = x_4 , \tau x_4 = x_1 $$
所以轨道 G(x1) = X,而稳定子群 Gx1 = {(1),(2 4)}
所以|G|=4*2=8,
$$G={(1),\tau,\tau^2,\tau^3,(2,4),(2,4)\tau,(2,4)\tau^2,(2,4)\tau^3}$$
$$\ \ = {(1),(1\ 2\ 3\ 4),(1\ 3)(2\ 4),(1\ 4\ 3\ 2),(2 4),(1\ 4)(2\ 3),(1\ 3),(1\ 2)(3\ 4)}$$