千问：

第四节重言蕴涵式与重言等值式

一、推理的形式结构与重言蕴涵式

重言蕴涵式是表示推理形式的有效性的逻辑表达式。一个推理由前提和结论两部分组成，若推理形式有效，则前提真时结论必真，两者间存在蕴涵关系。有效的推理形式仅与联结词和复合命题有关，不涉及非命题成分。有效的推理形式对应的是重言式，即无论对其中命题变项赋予何种真值，其总为真的蕴涵式。

示例分析

例12：
- 推理：如果某甲是罪犯，则他有作案时间；他没有作案时间，所以他不是罪犯。
- 蕴涵式：（p→q）∧⇁q→⇁p
- 检验方法：归谬赋值法
- 结论：重言式，推理有效
例13：
- 推理：或者逻辑学难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑学不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑学，那么数学并不容易学。
- 蕴涵式：（p∨q）∧（r→⇁p）→（⇁q→⇁r）
- 检验方法：归谬赋值法
- 结论：重言式，推理有效

重言蕴涵式列表：

A→A∨B
B→B∨A
（A∨B）∧⇁B→A
（A∨B）∧⇁A→B
A∧B→A
A∧B→B
A→（B→A∧B）
（A→B）→（（A→C）→（A→B∧C））
（A→B）∧A→B
（A→B）∧⇁B→⇁A
（A↔B）→（A→B）
（A↔B）→（B→A）
（A→B）∧（B→A）→（A↔B）
（A→B）→（⇁B→⇁A）
（⇁B→⇁A）→（A→B）
（A→B）∧（B→C）→（A→C）
（A→B）∧（B→C）→（⇁C→⇁A）
（A→B）∧（A→⇁B）→⇁A
（⇁A→B）∧（⇁A→⇁B）→A
（A→B）∧（⇁A→B）→B
（A→C）∧（B→C）∧（A∨B）→C
（A→B）∧（A→⇁B）∧（⇁B∨⇁C）→⇁A
（A→B）∧（C→D）∧（A∨C）→B∨D
（A→B）∧（C→D）∧（⇁B∨⇁D）→⇁A∨⇁C
（A∧B→C）→（A→（B→C））
（A→（B→C））→（A∧B→C）
（A∧B→C）→（（⇁C∧A）→⇁B）
（A∧B→C）→（（⇁C∧B）→⇁A）

日常推理示例：

例14：以二难推理简单构成式（重言蕴涵式[21]）论证上帝非万能
例15：苏格拉底运用二难推理复杂构成式（重言式[23]）规劝男子结婚

定义与定理：

若A是推理形式的前提，B是结论，则称B为A的重言后承，记作A╞B
A╞B当且仅当A→B为重言式
重言式分离定理：若A和A→B为重言式，则B也为重言式

二、重言等值式与置换规则

重言等值式是一类恒为真的等值关系，它们刻画了逻辑联结词的基本性质以及命题间的等价关系。

重言等值式列表：

A∧B↔B∧A
A∨B↔B∨A
（A∧B）∧C↔A∧（B∧C）
（A∨B）∨C↔A∨（B∨C）
A∧（B∨C）↔（A∧B）∨（A∧C）
A∨（B∧C）↔（A∨B）∧（A∨C）
A∧A↔A
A∨A↔A
A∧（A∨B）↔A
A∨（A∧B）↔A
A∧（B∨⇁B）↔A
A∨（B∧⇁B）↔A
A∧（B∧⇁B）↔B∧⇁B
A∨（B∨⇁B）↔B∨⇁B
A∨（⇁A∧B）↔A∨B
A∧（⇁A∨B）↔A∧B
⇁⇁A↔A
⇁（A∧B）↔（⇁A∨⇁B）
⇁（A∨B）↔（⇁A∧⇁B）
⇁（A→B）↔（A∧⇁B）
⇁（A↔B）↔（A∧⇁B）∨（⇁A∧B）
（A∨B）↔⇁（⇁A∧⇁B）
（A∨B）↔（⇁A→B）
（A∧B）↔⇁（⇁A∨⇁B）
（A∧B）↔⇁（A→⇁B）
（A→B）↔⇁（A∧⇁B）
（A→B）↔（⇁A∨B）
（A↔B）↔⇁（A∧⇁B）∧⇁（⇁A∧B）
（A↔B）↔⇁（⇁（⇁A∨B）∨⇁（A∨⇁B））
（A↔B）↔⇁（（A→B）→⇁（B→A））
（A↔B）↔（A∨⇁B）∧（⇁A∨B）
（A↔B）↔（A∧B）∨（⇁A∧⇁B）
（A↔B）↔（A→B）∧（B→A）
（A↔B）↔（A→B）∧（⇁A→⇁B）

等值置换定理：

（A↔B）→（CA↔CB）是重言式，其中CA表示A是C的子公式，CB表示用B置换A在C中的一处或多处出现的结果
若（A↔B）是重言式，则（CA↔CB）也是重言式

等值置换规则（记作RP）：若CA和A↔B为重言式，则CB亦为重言式

置换与代入的区别：

代入对象：命题变项；置换对象：可为命题变项或更复杂的公式
代入要求：处处代入；置换要求：无需替换所有出现，可选择性置换
原因：代入公式与被代入公式非等值；置换公式与被置换公式为等值关系（A↔B为重言式）

等值置换定理的证明：

分析CA、CB在给定真值指派下的取值情况
根据A、B的值是否相同，证明（A↔B）→（CA↔CB）始终为1，即为重言式

综上所述，本节介绍了重言蕴涵式和重言等值式，前者用于表示推理的有效性，后者则体现了逻辑联结词的性质及命题间的等价关系。通过列举实例、定义重言后承及阐述相关定理，深入探讨了这些逻辑概念，并对等值置换定理及其规则进行了

kimi：

重言蕴涵式与重言等值式

一、重言蕴涵式

重言蕴涵式是基于逻辑推理的形式结构，其中推理由前提和结论组成。如果一个推理形式是有效的，那么从真前提必定能得到真结论，这构成了蕴涵关系。蕴涵式的前件是前提的合取，后件是结论。当推理形式只与逻辑联结词相关而不涉及非命题成分时，该形式有效当且仅当相应的蕴涵式是重言式。

以下是几个例子和相应的重言蕴涵式：

例12: 如果某甲是罪犯，则他有作案时间；他没有作案时间，所以他不是罪犯。
- 蕴涵式：（p→q）∧⇁q→⇁p
- 验证方法：归谬赋值法
例13: 或者逻辑学难学，或者没有多少学生喜欢它。如果数学容易学，那么逻辑学不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑学，那么数学并不容易学。
- 蕴涵式：（p∨q）∧（r→⇁p）→（⇁q→⇁r）
- 验证方法：归谬赋值法

此外，还有一系列日常推理中有效的重言蕴涵式，如：

A→A∨B （∨引入律）
B→B∨A （∨引入律）
（A∨B）∧⇁B→A （∨消去律）
（A∨B）∧⇁A→B （∨消去律）
A∧B→A （∧消去律）
A∧B→B （∧消去律）
A→（B→A∧B） （∧引入律）
（A→B）→（（A→C）→（A→B∧C） （∧引入律）
（A→B）∧A→B （肯定前件式）
（A→B）∧⇁B→⇁A （否定后件式）
（A↔B）→（A→B） （↔消去律）
（A↔B）→（B→A） （↔消去律）
（A→B）∧（B→A）→（A↔B） （↔引入律）
（A→B）→（⇁B→⇁A） （假言易位律）
（⇁B→⇁A）→（A→B）
（A→B）∧（B→C）→（A→C） （假言三段论）
（A→B）∧（B→C）→（⇁C→⇁A）
（A→B）∧（A→⇁B）→⇁A （归谬律）
（⇁A→B）∧（⇁A→⇁B）→A （反证律）
（A→B）∧（⇁A→B）→B
（A→C）∧（B→C）∧（A∨B）→C （二难推理简单构成式）
（A→B）∧（A→C）∧（⇁B∨⇁C）→⇁A （二难推理简单破斥式）
（A→B）∧（C→D）∧（A∨C）→B∨D （二难推理复杂构成式）
（A→B）∧（C→D）∧（⇁B∨⇁D）→⇁A∨⇁C （二难推理复杂破斥式）
（A∧B→C）→（A→（B→C）） （条件输出律）
（A→（B→C））→（A∧B→C） （条件输入律）
（A∧B→C）→（（⇁C∧A）→⇁B） （反三段论）
（A∧B→C）→（（⇁C∧B）→⇁A） （反三段论）

二、重言等值式

重言等值式是逻辑等值表达式，它们在逻辑上是等价的。这些等值式可以通过真值表方法、归谬赋值法或树形图方法来验证其重言性。

以下是一些重言等值式：

A∧B↔B∧A （∧交换律）
A∨B↔B∨A （∨交换律）
（A∧B）∧C↔A∧（B∧C） （∧结合律）
（A∨B）∨C↔A∨（B∨C） （∨结合律）
A∧（B∨C）↔（A∧B）∨（A∧C） （∧对∨的分配律）
A∨（B∧C）↔（A∨B）∧（A∨C） （∨对∧的分配律）
A∧A↔A （∧幂等律）
A∨A↔A （∨幂等律）
A∧（A∨B）↔A （∧吸收律）
A∨（A∧B）↔A （∨吸收律）
A∧（B∨⇁B）↔A
A∨（B∧⇁B）↔A
A∧（B∧⇁B）↔B∧⇁B
A∨（B∨⇁B）↔B∨⇁B
A∨（⇁A∧B）↔A∨B
A∧（⇁A∨B）↔A∧B
⇁⇁A↔A （双重否定律）
⇁（A∧B）↔（⇁A∨⇁B） （德摩根律）
⇁（A∨B）↔（⇁A∧⇁B） （德摩根律）
⇁（A→B）↔（A∧⇁B）
⇁（A↔B）↔（A∧⇁B）∨（⇁A∧B）
（A∨B）↔⇁（⇁A∧⇁B）
（A∨B）↔（⇁A→B)
（A∧B）↔⇁（⇁A∨⇁B）
（A∧B）↔⇁（A→⇁B）
（A→B）↔⇁（A∧⇁B）
（A→B）↔（⇁A∨B）
（A↔B）↔⇁（A∧⇁B）∧⇁（⇁A∧B）
（A↔B）↔⇁（⇁（⇁A∨B）∨⇁（A∨⇁B））
（A↔B）↔⇁（（A→B）→⇁（B→A））
（A↔B）↔（A∨⇁B）∧（⇁A∨B）
（A↔B）↔（A∧B）∨（⇁A∧⇁B）

重言等值式揭示了逻辑联结词的重要性质，并且表明了真值联结词的可互定义性。通过这些等值式，我们可以使用不同的联结词组来表达所有真值形式。

等值置换定理

等值置换定理说明了在特定条件下，一个公式可以被另一个等值的公式替换，而不改变整个表达式的真实性。具体来说：

如果A↔B是重言式，则(A↔B)→(CA↔CB)也是重言式。
如果A↔B是重言式，则用B替换A得到的公式CB也是重言式。

这一定理支持了等值置换规则（记为RP），即如果CA和A↔B是重言式，则CB也是重言式。

等值置换规则的应用

等值置换规则RP在逻辑推理和证明中非常有用，它允许我们在保持等值的前提下，对公式进行变换和简化。通过应用这一规则，我们可以更容易地证明其他逻辑性质和定理，从而在逻辑学和相关领域中推进我们的理解。

发表新评论

陈波逻辑学导论 2.4 重言蕴涵式与重言等值式

第四节 重言蕴涵式与重言等值式