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第五节命题逻辑的自然推理总结

这一节主要介绍了命题逻辑中形式推演的定义和规则系统 PN，并展示了如何利用 PN 进行推理和证明。

关键点：

形式推演： 从给定前提利用推理规则得出结论的过程。
PN 推演规则系统： 包含 11 条规则，用于构建推演序列。
定理： 不需要任何前提或假设即可推出的公式。
证明： 关于定理的推演过程。
蕴涵式证明思路： 利用 →+ 规则，假设前件，尝试推出后件。
书写约定： 为了清晰地表达推演过程，需要遵循一些书写约定。
导出规则： 基于 PN 定理的简化推演的规则。
有前提推演： 从给定前提出发，判断是否能推出结论。

PN 推演规则：
规则名称符号描述
否定引入 ⇁+ 从 A 推出 B 和 ⇁B，则可推出 ⇁A。
否定消去 ⇁- 从 ⇁A 推出 B 和 ⇁B，则可推出 A。
析取引入 ∨+ 从 A 可推出 A∨B；从 B 亦可推出 A∨B。
析取消去 ∨- 从 A∨B，A→C，B→C，可以推出 C。
合取引入 ∧+ 从 A，B 可推出 A∧B。
合取消去 ∧- 从 A∧B 可推出 A；从 A∧B 可推出 B。
蕴涵引入 →+ 若 A 可以推出 B，则可推出 A→B。
蕴涵消去 →- 从 A→B 和 A 可以推出 B。
等值引入 ↔+ 从 A→B 和 B→A 可推出 A↔B。
等值消去 ↔- 从 A↔B 可推出 A→B；从 A↔B 可推出 B→A。
自推规则 ∈ 从前提集中可推出其中的任一公式。

例子：

文中提供了多个例子，展示了如何利用 PN 推演规则进行推理和证明，例如证明定理、判定推理的有效性等。

总结：

PN 推演规则系统为命题逻辑的推理和证明提供了基础，通过学习和应用这些规则，我们可以更好地理解和分析逻辑论证。

kimi：

第五节　命题逻辑的自然推理

形式推演定义

命题逻辑中的形式推演是一个有穷长的公式序列，其中的每一项要么是给定的前提，要么是从序列中前面的公式根据给定的规则得到的公式。序列末尾的公式是推演的结论。如果结论可以从空前提得到，则该公式是命题逻辑的定理。

PN推演规则系统

PN推演规则系统允许从一组前提或假设出发，利用其推演规则推出公式A。

推演规则

否定引入规则 ⇁＋：假设A推出B和⇁B，则可推出⇁A。
否定消去规则 ⇁－：假设⇁A推出B和⇁B，则可推出A。
析取引入规则 ∨＋：从A或B推出A∨B。
析取消去规则 ∨－：从A∨B，A→C，B→C推出C。
合取引入规则 ∧＋：从A，B推出A∧B。
合取消去规则 ∧－：从A∧B推出A或B。
蕴涵引入规则 →＋：假设A推出B，则可推出A→B。
蕴涵消去规则 →－：从A→B和A推出B。
等值引入规则 ↔＋：从A→B和B→A推出A↔B。
等值消去规则 ↔－：从A↔B推出A→B或B→A。
自推规则 ∈：从一组前提推出任一公式Ai。

定理及其证明

定理是不需要任何前提或假设利用PN推演规则推出的公式。证明定理时，使用特定的书写约定以确保推演的清晰和有效性。

示例定理

A→（B→A）
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))
(⇁A→B)→((⇁A→⇁B)→A)
(A→B)→(⇁B→⇁A)
(A→B)→((B→C)→(A→C))
(A→B)→((C→D)→(A∨C→B∨D))

证明方法

证明蕴涵式时，可以使用蕴涵引入规则→＋，通过假设前件并尝试推出后件来进行。

示例证明

证明［2］：详细证明了定理［2］，展示了如何使用→＋规则进行证明。
证明［3］：使用⇁＋规则，通过假设相反的情况来证明定理［3］。

导出规则

为了简化推演，可以证明一些导出规则，它们基于相应的PN定理。

示例导出规则

DR3: 从（1）、（2）、（3）可以直接推出（7），无需经过中间步骤。

有前提推演

PN定理是无前提的推演，而日常思维中常常需要从一些前提出发推出结论，验证推理的有效性。

示例推理

例17：展示了如何使用→＋规则进行有前提的推演。
例18：通过符号公式展示了一个有效的推理，但其结论为假，提示至少有一个前提为假。
例19：通过一系列逻辑推理，得出弗罗伦将会是理事会的新主席。

结论

所有命题逻辑的重言式都是PN的定理，等值置换规则RP在PN中成立。这些定理和规则可以用于简化和验证逻辑推理。

千问：

命题逻辑的自然推理概述

第五节命题逻辑的自然推理

命题逻辑中的形式推演涉及从给定前提（可选）利用推理规则得出结论的有序过程。核心定义包括：

形式推演：一系列公式的序列，每个公式或是初始前提，或是依据规则从前序公式推导而来，序列最终导向结论。无前提推导出的公式定义为定理。
推演规则系统PN允许从前提A₁, A₂, ..., An推导出公式A，表示为A₁, A₂, ..., An├A，意指A是前提的语法后承。
当前提集为空(Γ=φ)且能推导出A时，A是PN的一个可证公式或“定理”。

PN推演规则概览

否定引入规则（⇁+）：基于假设A推导出矛盾B和⇁B，则可推翻A（即证明⇁A）。
否定消去规则（⇁-）：假设⇁A导致矛盾，可证明A的真实性。
析取与合取引入与消去规则（∨+, ∨-, ∧+, ∧-）：用于处理析取和合取逻辑操作。
蕴涵引入与消去规则（→+, →-）：分别用于从前提推导蕴涵和利用蕴涵推导结论。
等值引入与消去规则（↔+, ↔-）：处理逻辑等价。
自推规则（∈）：任何前提自身可直接推出。

规则分为直接在前提下操作（如∨+, ∨-, ∧+, ∧-, →-, ↔+, ↔-, ∈）和需引入假设后解除的规则（⇁+, ⇁-, →+）。

PN定理证明

证明格式：遵循特定书写约定，明确展示推导步骤和依据。
例子：通过逐步应用规则，证明特定的逻辑定理，如A→(B→A)，展示了蕴涵引入规则的应用。
简化策略：利用已证明的定理直接引入，减少重复证明，以及导出规则简化推导。

PN有前提推演

分析实际推理的有效性，如通过将结论的前件设为假设，检查能否推导出结论。
实例：例17至例19通过具体案例展示如何应用PN规则验证推理的有效性，同时也说明有效推理并不保证结论的真理性。

总结

本节介绍了命题逻辑自然推理的核心概念，包括形式推演的定义、PN系统的推演规则、定理的证明方法，以及如何在具体问题中应用这些规则进行有前提的推演。通过实例分析，深入讲解了如何构建逻辑推导，验证推理的有效性，并强调了逻辑形式与真实世界结论之间的区别。

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