gemini：
广义模态逻辑：超越真假的逻辑世界
这段文章讨论了广义模态逻辑，它是命题逻辑的扩展，包含了“必然”、“可能”等模态词，以及相关的推理规则。文章主要内容如下：
模态词的种类
逻辑模态 vs. 非逻辑模态：逻辑模态指逻辑上的必然性和可能性，而非逻辑模态（物理模态）则指自然科学规律下的必然性和可能性。
命题模态 vs. 事物模态：命题模态关注命题本身的必然性和可能性，而事物模态则关注事物是否具有某种属性的必然性和可能性。
狭义模态 vs. 广义模态：狭义模态指真势模态（必然、可能），而广义模态则包括道义、时态、认识论等概念。
模态命题的真值不像普通命题那样由其组成部分的真值唯一决定，而是需要考虑“可能世界”。一个命题在一个可能世界中为真，在另一个可能世界中可能为假。
TN 系统在命题逻辑的基础上增加了关于“必然”的推理规则：
必然消去规则 (□-1)：从 □A 可以推出 A。
必然引入子证明进入规则 (□-2)：在 □ 的辖域内，公式可以去掉 □ 进入子证明。
必然引入子证明退出规则 (□+)：子证明中的任何公式都可以加上 □ 退出子证明。
系统还定义了“可能” (◇) 并给出了相关规则。
TN 系统可以证明很多定理，例如 □(A→B)→(□A→□B) 和 □A→A，以及一些关于“必然”和“可能”之间关系的定理。
文章最后给出了两个应用实例，展示了如何使用模态逻辑进行推理。
总而言之，广义模态逻辑提供了一种工具，可以用来分析和推理关于各种模态概念的命题，扩展了我们对逻辑世界的理解。
kimi:
模态词源自拉丁词“modalis”，反映事物或人的认识存在、发展的样式、情状、趋势等。
模态命题的真值不完全由非模态命题决定，具有“非真值函项性”或“内涵性”。
模态逻辑系统TN在命题逻辑PN的基础上，加入与模态词“必然”相关的推理规则。
展示模态逻辑中命题间的关系，如□A→⇁□⇁A、□A→◇A等。
探讨了有穷数列与无穷数列中部分与整体长度的关系，得出结论：在有穷的世界里，部分必定小于整体；在无穷的世界里，部分可能等于整体。
分析了林肯关于骗子的断定，推论出不存在某一时刻有人可能不受骗的结论是错误的。
以上是对广义模态逻辑的总结，包括模态词的种类、模态命题的真值条件、模态逻辑系统TN以及逻辑推论示例。
千问：
在命题逻辑框架上，通过纳入模态词及其相关命题，结合特有推理规则，形成了模态逻辑这一命题逻辑的扩充体系。20世纪见证了模态逻辑的蓬勃发展，尽管其研究可追溯至亚里士多德时代。
广义模态逻辑中的模态词操作不同于传统命题联结词，展现出非真值函项性，即其真值不仅依赖于组成命题的真值，还涉及“可能世界”的概念。莱布尼茨的可能世界理论为此提供了基础，其中一命题的必然性或可能性由其在所有或某些可能世界的真值状态决定。
20世纪中叶，克里普克等人发展了可能世界语义学，实现了莱布尼茨思想的形式化，使得命题的真值和模态概念相对化至特定可能世界。这一理论确立了模态命题真值的判定框架，并引入了可能世界间的相对关系，细化了必然性和可能性的定义。
模态逻辑系统TN在命题逻辑基础上，新增了模态词“必然”相关的推理规则，如必然消去规则（□-1）、必然引入子证明规则等。通过定义和导出规则，如可能性引入规则（◇+）和消去规则（◇-），系统展示了模态逻辑的内部逻辑结构。此系统能够证明一系列定理，体现模态对当方阵中的关系，如□A与◇A之间的转换规则。
通过例题分析，展示了模态逻辑在推理中的应用，如区分有穷与无穷世界的部分与整体关系，以及分析语言表达中的逻辑蕴含，强调了模态逻辑在评估命题的可能性与必然性中的作用。
综上，广义模态逻辑作为命题逻辑的扩充，不仅深化了对必然性、可能性等概念的理解，还扩展了逻辑分析的领域，涵盖了道德、时间、认知等多个维度，丰富了逻辑学的理论与实践应用。