| 性质分类 | 重心 | 内心 | 外心 | 垂心 |
|---|---|---|---|---|
| 面积性质 | ① 6个子三角形面积相等： 𝑆Δ𝐴𝐺𝐹 = 𝑆Δ𝐵𝐺𝐹 = 𝑆Δ𝐵𝐺𝐷 = 𝑆Δ𝐶𝐺𝐷 = 𝑆Δ𝐶𝐺𝐸 = 𝑆Δ𝐴𝐺𝐸。 | ④ 面积公式： 𝑟(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 2𝑆Δ𝐴𝐵𝐶。 | - | ③ 相似关系： Δ𝐴𝐻𝐸 ∼ Δ𝐵𝐻𝐷。 Δ𝐴𝐻𝐹 ∼ Δ𝐶𝐻𝐷。 Δ𝐵𝐻𝐹 ∼ Δ𝐶𝐻𝐸。 |
| 角度性质 | - | ① 角度关系： ∠𝐵𝐼𝐶 = 90° + 1/2 ∠𝐵𝐴𝐶。 | ② 角度关系： ∠𝐴𝑂𝐵 = 2∠𝐶。 ∠𝐴𝑂𝐶 = 2∠𝐵。 ∠𝐵𝑂𝐶 = 2∠𝐴。 | ① 角度关系： ∠𝐴𝐻𝐵 = 180° - ∠𝐶。 |
| 长度性质 | ② 中线比例： 𝐴𝐺 / 𝐺𝐷 = 𝐵𝐺 / 𝐺𝐸 = 𝐶𝐺 / 𝐺𝐹 = 2。 ③ 中线长公式： 𝐴𝐷² + 𝐵𝐷² = 1/2 (𝐴𝐵² + 𝐴𝐶²)。 | ② 角平分线定理： 𝐴𝐵 / 𝐵𝐷 = 𝐴𝐶 / 𝐶𝐷。 ③ 角平分线长定理： 𝐴𝐷² = 𝐴𝐵 ⋅ 𝐴𝐶 - 𝐷𝐵 ⋅ 𝐷𝐶。 ⑤ 切线长定理： 𝐴𝐿 = 𝐴𝑀 = (𝑏 + 𝑐 - 𝑎) / 2。 𝐵𝐿 = 𝐵𝑁 = (𝑎 + 𝑐 - 𝑏) / 2。 𝐶𝑀 = 𝐶𝑁 = (𝑎 + 𝑏 - 𝑐) / 2。 | ① 等距性质： 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶。 | ④ 卡诺定理： 过外心𝑂作𝐵𝐶边垂线，垂足为𝑀，则𝐴𝐻 = 2𝑂𝑀。 ⑤ 欧拉定理： 三角形的外心𝑂、垂心𝐻和重心𝐺三点共线，且𝐻𝐺 = 2𝑂𝐺。 |
| 其他性质 | - | - | ③ 垂径定理： 过𝑂作三边垂线，垂足必中点。 | ② 垂心组： 三角形𝐴𝐻𝐵的垂心为𝐶。 三角形𝐴𝐻𝐶的垂心为𝐵。 三角形𝐵𝐻𝐶的垂心为𝐴。 |