用齐次化解题：已知椭圆E:x^2/6+y^2/3=1,椭圆上一点A=(2,1)，M、N在E上，AM垂直于AN
第一步，坐标系原点移到A，并写出新坐标系下E和直线MN的方程（新坐标系下直线为mx+ny=1）。
第二步，新坐标系下E的方程丢弃常数项（因为新坐标系下过A(0,0)）,一次项乘以mx+ny，二次项不变.
第三步，上面齐次化后的方程，同时除以x^2。得到以k_{AM},k_{AN}为两根的二次方程（即以y/x为变量）。
第四步，根据直线间关系式，求出m、n关系。
第五步，根据m、n关系，求出直线MN的定点；
第六步，把MN的定点坐标系平移为原坐标系。

用韦达定理解题：已知椭圆E:x^2/6+y^2/3=1,椭圆上一点A=(2,1)，M、N在E上，AM垂直于AN。
第一步，设直线L_{MN}为 y=mx+n,与E联立；
第二步，利用韦达定理得到x_M+x_N,x_M*x_N;
第三步，利用直线L_{MN}方程得到y_M+y_N,y_M*y_N;
第四步，AM垂直于AN，得到m、n的关系式。
第五步，根据m、n关系式，求出MN过的定点。

用定比点差法证明：已知椭圆E:x^2/9+y^2=1,P为直线x=6上动点，A、B为椭圆左右顶点，PA交E与另一点C，PB交E与另一点D。
设M为(m,0)，MC=lambda MD，然后用定比点差法，请参考例子，严格按照下面步骤计算：
第一步，设C(x_C,y_C),D(x_D,y_D)
第二步，C，D分别代入椭圆,其中一式要乘lambda^2
第三步，作差,因式分解
第四步，M点的等式
第五步，代入
第六步，3k_{CA}=k_{BD}
第七步，第六、五、四步结果联立方程组，求出m值要求：你一次输出一步，让我确定是否正确。确认正确则下次输出下一步，否则按我的提示修改当前步。定比点差法举例：
【题目】过椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{2} + y^2 = 1$ 的左焦点作直线交椭圆于点 $A, B$，若 $\overrightarrow{FA} = \lambda \overrightarrow{BF}$，求点 $A$ 坐标,lambda=3。
【点差法解答】
第一步设点：设 $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$。
第二步代入,其中一式要乘lambda^2：那么 $\frac{x_1^2}{2} + y_1^2 = 1, \frac{\lambda^2x_2^2}{2} + \lambda^2y_2^2 = \lambda^2$。
第三步作差，因式分解：两式相减得 $\frac{(x_1 + 3x_2)(x_1 - 3x_2)}{2} + (y_1 + 3y_2)(y_1 - 3y_2) = -8$。
第四步点的等式转化：注意到 $F(-1, 0)$ 即为 $F(\frac{x_1 + 3x_2}{4}, \frac{y_1 + 3y_2}{4})$。得到$x_1 + 3x_2 = -4, y_1 + 3y_2 = 0 $。
第五步代入：将 第四步结果 代入 第三步结果，得到 $x_1 - 3x_2 = 4$，
第六步五四结果联立方程组：第五步结果 $x_1 - 3x_2 = 4$和第四步结果 $x_1 + 3x_2 = -4$联立，解得 $x_1 = 0$，所以 $A(0, \pm 1)$。

用曲线系解题：已知椭圆E:x^2/6+y^2/3=1,椭圆上一点A=(2,1)，M、N在E上，AM垂直于AN ，求A、M、N三点的曲线系表达（不用化简）。
提示：l_{MN}设为y-mx-n=0，l_A切线方程，l_{AN},l_{AM}四条直线来表达曲线系
第二步：A、M、N三点的曲线系表达后与E对比系数(只需对比系数为0的项x,y,xy，构造t=frac{lambda}{mu}来简化),得到m、n的关系式。(由于曲线系设置了两个变量lambda和mu，因此不需要缩放E。)
第三步：根据m、n的关系式，说明直线MN过定点说明：曲线系方法如下：平面内有四个点 (P, Q, M, N)，已知下列四条直线的方程：
已知 ( P ) 为椭圆 ( C: frac{x^2}{4} + y^2 = 1 ) 的上顶点，直线 ( l ) 不经过点 ( P ) 且与 ( C ) 相交于 ( A )、( B ) 两点，若直线 ( PA )、( PB ) 的斜率和为 -1，证明：( l ) 过定点。
textbf{【解析】} 这里只有 ( P )、( A )、( B ) 三个点，为了凑出经过四个点的曲线系方程，可以将点 ( P ) 视为两个无限接近的点 ( P_1 )、( P_2 )，则直线 ( P_1P_2 ) 可以视为椭圆在点 ( P ) 处的切线，因为割线 ( P_1P_2 ) 的极限就是切线，由题意可设出下列直线方程：
[
begin{cases}
l_{PA}: k_1x - y + 1 = 0 \
l_{P_2B}: k_2x - y + 1 = 0 \
l_{P_1P_2}: y - 1 = 0 \
l_{AB}: x + my + t = 0
end{cases}
]
则过 ( A )、( B )、( P_1 )、( P_2 ) 四点的曲线系方程为：
[
lambda(k_1x - y + 1)(k_2x - y + 1) + mu(y - 1)(x + my + t) = 0
]
整理为一般式：
[
lambda k_1k_2x^2 + (lambda + mu m)y^2 + [-lambda(k_1 + k_2) + mu]xy + [lambda(k_1 + k_2) - mu]x + [-2lambda + mu(t - m)]y + (lambda - mu t) = 0 cdots cdots text{①}
]
椭圆 ( C ) 方程可化为：
[
x^2 + 4y^2 - 4 = 0 cdots cdots text{②}
]
对比的各项系数，可得一些结论。