递推与求和

一、求和的典型例题H（n）

2010 年湖北卷(理)21

题目

已知函数 $f(x) = ax + \frac{b}{x} + c$ ($a > 0$) 的图象在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y = x - 1$。

1. 用 $a$ 表示出 $b, c$。
2. 若 $f(x) \geq \ln x$ 在 $[1, +\infty)$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围。
3. 证明：$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > \ln(n+1) + \frac{n}{2(n+1)}$ ($n \geq 1$)。

六种解题思路

在数学中，涉及调和级数$H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$ 与对数函数（如$\ln(n)$ 或$\ln(n+1)$）的不等式证明问题，通常可以通过以下几种方法解决：

1. 积分估计法

核心思想：利用调和级数与积分的关系，通过比较离散和与连续积分来建立不等式。
步骤：

1. 用积分上下界逼近调和级数：

$$ \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} \, dx \leq H_n \leq 1 + \int_{1}^{n} \frac{1}{x} \, dx, $$

即：

$$ \ln(n+1) \leq H_n \leq 1 + \ln(n). $$

1. 进一步优化估计值，例如通过更精细的分割或利用凹凸性（如梯形公式）。

适用场景：需要证明$H_n$与$\ln(n)$的误差范围（如$H_n - \ln(n)$的收敛性）。

$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\circ{分类讨论}\bullet{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

2. 差分分析（列项相消法）

核心思想：将调和级数拆分为对数项与剩余项的和，通过剩余项的下界证明不等式。
步骤（如原题的解法）：

1. 将$\frac{1}{k}$分解为：

$$ \frac{1}{k} = \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) + \left[\frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right]. $$

1. 求和后得到：

$$ H_n = \ln(n+1) + \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) \right). $$

1. 通过泰勒展开或函数凹凸性证明剩余项$\frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right) > \frac{1}{2k(k+1)}$，再利用望远镜求和。

适用场景：需构造显式的不等式余项，且剩余项可化简为望远镜级数（$S_n=\frac{n}{n+1}\Rightarrow a_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)},S_n=ln(n+1) \Rightarrow b_n=ln(n+1)-ln(n),c_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$）。

$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\circ{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

3. 数学归纳法

核心思想：假设命题对$n = k$成立，证明$n = k+1$时也成立。
步骤：

1. 验证基例（如$n=1$）。
2. 归纳假设：假设$H_k > \ln(k+1) + \frac{k}{2(k+1)}$.
3. 归纳步骤：证明$H_{k+1} = H_k + \frac{1}{k+1}$满足不等式，通常需结合中间不等式（如原题中利用$\ln(k+1) \to \ln(k+2)$的差值与余项比较）。

适用场景：递推结构明显的不等式，尤其当余项可逐项分析时。

$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\bullet{分类讨论}\circ{数形结合}\circ{转化与化归} }}$$

4. 构造函数与导数分析

核心思想：定义辅助函数$f(n) = H_n - \ln(n+1) - \frac{n}{2(n+1)}$，通过分析其单调性或非负性。
步骤：

1. 计算差分$f(n+1) - f(n) = \frac{1}{n+1} - \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right) + \frac{1}{2(n+1)(n+2)}$.
2. 利用泰勒展开或导数证明$f(n+1) - f(n) > 0$，即$f(n)$单调递增。
3. 结合基例$f(1) > 0$，得出$f(n) > 0$对所有$n \geq 1$成立。

适用场景：需直接分析不等式的整体性质，而非逐项比较。

$$\boxed{{\tiny \bullet{方程与函数}\circ{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

5. 积分比较法

核心思想：将调和级数余项与积分比较。
步骤：

1. 注意到$\frac{1}{k} > \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} \, dx$，因此：

$$ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} > \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} \, dx = \ln(n+1). $$

1. 进一步优化余项，例如通过比较$\frac{1}{k} - \int_{k}^{k+1} \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{k} - \ln\left(1 + \frac{1}{k}\right)$，并证明其下界。

适用场景：需快速建立粗略或精确的积分-级数关系。

$$\boxed{{\tiny \bullet{方程与函数}\circ{分类讨论}\bullet{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

6. 利用已知不等式（如欧拉-马歇罗尼常数）

核心思想：利用调和级数与自然对数的渐近关系：

$$ H_n = \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12n^2} + \cdots, $$

其中$\gamma \approx 0.5772$为欧拉-马歇罗尼常数。
步骤：

1. 直接展开高阶项，比较余项的正负性。
2. 对有限项截断，证明余项满足不等式。

适用场景：需处理高阶余项或渐近行为。

$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\circ{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

方法选择建议

• 简单余项估计：优先选择积分估计或列项相消法。
• 递推结构明显：使用数学归纳法。
• 需全局分析：构造函数并利用导数或单调性。
• 高阶精度需求：结合欧拉-马歇罗尼常数展开。

通过灵活组合这些方法，可以解决绝大多数调和级数与对数函数的不等式问题。

二、积分估计法

积分估计法（积分测试法）是一种用于判断正项级数收敛性的重要工具，尤其适用于通项为单调递减正函数的级数。除了调和级数$\sum \frac{1}{n}$，它还适用于以下类型的级数：

积分估计法适用于所有满足单调递减正项条件的级数

1. p-级数（幂函数级数）

级数形式：

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \quad (p > 0) $$

积分估计：

• 当$p > 1$时，积分$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} \, dx$收敛（值为$\frac{1}{p-1}$），因此级数收敛。
• 当$p \leq 1$时，积分发散，级数也发散。

例子：
-$\sum \frac{1}{n^2}$（收敛，对应$p=2$）
-$\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$（发散，对应$p=0.5$）

2. 含对数的级数

级数形式：

$$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^q} \quad (q > 0) $$

积分估计：

• 当$q > 1$时，积分$\int_2^\infty \frac{1}{x (\ln x)^q} \, dx$收敛（值为$\frac{1}{(q-1)(\ln 2)^{q-1}}$），因此级数收敛。
• 当$q \leq 1$时，积分发散，级数也发散。

例子：
-$\sum \frac{1}{n \ln n}$（发散，对应$q=1$）
-$\sum \frac{1}{n (\ln n)^2}$（收敛，对应$q=2$）

3. 指数衰减级数

级数形式：

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{e^{n}} \quad \text{或} \quad \sum_{n=1}^\infty e^{-kn} \quad (k > 0) $$

积分估计：
积分$\int_1^\infty e^{-kx} \, dx$收敛（值为$\frac{e^{-k}}{k}$），因此级数收敛（几何级数性质更直接，但积分法仍适用）。

4. 有理函数级数

级数形式：

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} \quad \text{或} \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 + n} $$

积分估计：
比较积分$\int_1^\infty \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$（收敛，值为$\frac{\pi}{4}$），因此级数收敛。

5. 含多项式与对数组合的级数

级数形式：

$$ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)(\ln \ln n)^r} \quad (r > 0) $$

积分估计：
通过多次换元积分，可判断当$r > 1$时收敛，$r \leq 1$时发散。

6. 广义调和级数

级数形式：

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{p} (\ln n)^q} \quad (p, q > 0) $$

积分估计：

• 若$p > 1$，无论$q$如何，级数收敛（由$n^{-p}$主导）。
• 若$p = 1$，退化为含对数的级数（需$q > 1$收敛）。
• 若$p < 1$，级数发散。

积分估计法的通用条件

1. 正项级数：所有项$a_n \geq 0$。
2. 单调递减：$a_n$随$n$增大单调递减。
3. 积分收敛性：若$\int_N^\infty a(x) \, dx$收敛，则级数$\sum_{n=N}^\infty a_n$也收敛；若积分发散，级数也发散。

总结

积分估计法适用于所有满足单调递减正项条件的级数，常见的应用场景包括：

• 幂函数级数（p-级数）
• 含对数的级数
• 指数衰减级数
• 有理函数级数
• 多重对数组合的级数

通过比较级数与积分的收敛性，可以快速判断级数的行为，是分析无穷级数收敛性时的重要工具。

三、递推例子

2014大纲卷（理）22

题目

$设 a_1 = 1,a_{n+1} = \ln(a_n + 1)a，证明：\frac{2}{n+2} < a_n \leq \frac{3}{n+2}.$

解法

法1、数学归纳法

略
$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\bullet{分类讨论}\circ{数形结合}\circ{转化与化归} }}$$

调和级数较难例子

2013大纲卷 （理）22

题目

已知函数 $f(x) = \ln(x+1) - \frac{x(1 + \lambda x)}{1+x}$。

(1) 若当 $x \geq 0 时，f(x) \leq 0$，求 λ 的最小值。

(2) 设数列 {an​} 的通项 $a_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$，证明：$a_{2n} - a_n + \frac{1}{4n} > \ln 2$。

解法

最开始例子的几种方法都失效了
关键点：

• 1、第一小题中$令x=\frac{1}{t},得到ln(\frac{t+1}{t})\le \frac{2t+1}{2t(t+1)},$
• 2、$ln(\frac{t+1}{t})裂项$求和为望远镜
• 3、$\frac{2t+1}{2t(t+1)}裂项为\frac{1}{2k}+\frac{1}{2(k+1)}$求和为$H(2n)-H(n)+\frac{1}{4n}$
  $$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\circ{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

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