带参数的函数上下界估计方法

2011 年课标全国卷(理)21

题目：

已知函数$f(x) = \frac{a \ln x}{x+1} + \frac{b}{x}$，曲线$y = f(x)$在点$(1, f(1))$处的切线方程为$x + 2y - 3 = 0$。

(1) 求$a, b$的值。（a=1，b=1）

(2) 如果当$x > 0$，且$x \neq 1$时，$f(x) > \frac{\ln x}{x-1} + \frac{k}{x}$，求$k$的取值范围。

求$k$的取值范围--分离lnx或ln(x+1)法

已知当$x > 0$且$x \neq 1$时，不等式：

$$ \frac{a \ln x}{x+1} + \frac{b}{x} > \frac{\ln x}{x-1} + \frac{k}{x} $$

需成立。整理后得到：

$$ \frac{-2 \ln x}{x^2 - 1} + \frac{1 - k}{x} > 0. $$

定义函数$g(x) = \frac{-2 \ln x}{x^2 - 1} + \frac{1 - k}{x}$，需保证$g(x) > 0$对所有$x > 0$且$x \neq 1$成立。

参考答案：继续分离lnx
$$g(x) = \frac{-2 \ln x}{x^2 - 1} + \frac{1 - k}{x}=\frac{1}{x^2-1}(-2lnx+ \frac{(1 - k)(x^2-1)}{x}),$$
$$令h(x)=-2lnx+ \frac{(1 - k)(x^2-1)}{x},再求导$$

$$\boxed{{\tiny \bullet{方程与函数}\bullet{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

方法1：极限分析法

定义函数$g(x) = \frac{-2 \ln x}{x^2 - 1} + \frac{1 - k}{x}$，需保证$g(x) > 0$对所有$x > 0$且$x \neq 1$成立。

关键分析步骤：

极限行为：
- 当$x \to 1$时，$\frac{-2 \ln x}{x^2 - 1}$的极限为$-1$（通过洛必达法则），故$g(x) \to - k$。若$k > 0$，可能导致$g(x) < 0$。
- 当$x \to 0^+$或$x \to +\infty$时，$\frac{-2 \ln x}{x^2 - 1}$趋近于$0$，而$\frac{1 - k}{x}$趋近于$0$（但符号由$1 - k$决定）。若$k \leq 0$，则$1 - k \geq 1$，保证$g(x) > 0$。
分区间验证：
- 当$x \in (0, 1)$：分母$x^2 - 1 < 0$，分子$-2 \ln x > 0$，故第一项为负；第二项$\frac{1 - k}{x}$若$k \leq 0$，则正。负项与正项的组合需保证整体为正，通过分析极限和极值，发现$k \leq 0$时成立。
- 当$x > 1$：分母$x^2 - 1 > 0$，分子$-2 \ln x < 0$，故第一项为负；第二项仍为正。类似分析表明$k \leq 0$时成立。
临界点验证：
- 当$k = 0$时，原不等式化简为：

$$ \frac{-2 \ln x}{x^2 - 1} + \frac{1}{x} > 0. $$

 通过泰勒展开和数值验证，发现该式对所有$x > 0$且$x \neq 1$成立。

当$k > 0$时，取$x$接近$1$，例如$x = 1 + \epsilon$（$\epsilon \to 0^+$），右侧项$\frac{k}{x}$导致不等式不成立。

结论：$k$的取值范围为$k \leq 0$。

最终答案

(2)$k$的取值范围是$\boxed{(-\infty, 0]}$

方法2：分离变量法（显式求解$k$的表达式）

将不等式改写为：

$$ k < x \left( \frac{a \ln x}{x+1} + \frac{b}{x} - \frac{\ln x}{x-1} \right). $$

令右侧表达式为$h(x)$，即：

$$ h(x) = x \left( \frac{a \ln x}{x+1} - \frac{\ln x}{x-1} \right) + b = \frac{-2x \ln x}{x^2 - 1} + b. $$

求$h(x)$的最小值或下确界。若$k < \inf h(x)$，则原不等式成立。

分析$h(x)$的极限：
- 当$x \to 1$：

$$ \lim_{x \to 1} \frac{-2x \ln x}{x^2 - 1} \overset{\text{洛必达}}{=} \lim_{x \to 1} \frac{-2(\ln x + 1)}{2x} = -1 \implies h(x) \to b - 1. $$

当$x \to 0^+$：

$$ \frac{-2x \ln x}{x^2 - 1} \approx 0 \implies h(x) \to b. $$

当$x \to +\infty$：

$$ \frac{-2x \ln x}{x^2} \approx 0 \implies h(x) \to b. $$

求导找极值：

$$ h'(x) = \frac{2 \ln x (3x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} - \frac{2x}{(x^2 - 1)}. $$

通过数值分析或符号判断可知，$h(x)$在$x > 0$且$x \neq 1$时的最小值为$b - 1$，当且仅当$x \to 1$时趋近于$b - 1$。因此，$k \leq b - 1$。

方法3：极值分析法（求$g(x)$的最小值）

直接分析$g(x) = \frac{-2 \ln x}{x^2 - 1} + \frac{1 - k}{x}$的极值。

求导并解临界点：

$$ g'(x) = \frac{2(x^2 + 1)\ln x - 2x(x^2 - 1)}{x(x^2 - 1)^2} - \frac{1 - k}{x^2}. $$

令$g'(x) = 0$，解得临界点$x = 1$（但需排除）。进一步分析表明，$g(x)$在$x = 1$附近的最小值趋近于$0$，且当$k \leq 0$时，$\frac{1 - k}{x} \geq \frac{1}{x} > 0$，确保$g(x) > 0$。

方法4：泰勒展开法（局部逼近分析）

在$x = 1$处展开$\ln x$和分母：
令$x = 1 + t$（$t \to 0$），则：

$$ \ln x \approx t - \frac{t^2}{2}, \quad x^2 - 1 \approx 2t. $$

代入$g(x)$：

$$ g(x) \approx \frac{-2(t - \frac{t^2}{2})}{2t} + \frac{1 - k}{1 + t} \approx -1 + \frac{t}{2} + (1 - k)(1 - t). $$

整理得：
$g(x) \approx -k - \frac{(1 - k)}{2} t.$
当$t \to 0^+$（即$x \to 1^+$）时，若$k > 0$，则$g(x) \approx -k < 0$，矛盾。故$k \leq 0$。

方法5：不等式变形与放缩

原不等式可变形为：

$$ \frac{a \ln x}{x+1} - \frac{\ln x}{x-1} > \frac{k - b}{x}. $$

左侧化简为：

$$ \ln x \left( \frac{1(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} \right) > \frac{k -1}{x}.$$ $$\ln x \cdot \frac{2}{(x+1)(x-1)} < \frac{1 - k}{x}. $$

当$k \leq 0$时，右侧$\frac{1 - k}{x} \geq \frac{1}{x}$，结合$\ln x < x - 1$（已知不等式），可证左侧更小，满足不等式。(错误的)

结论

通过多种方法分析：
分离变量、分离ln、极值分析（洛必达）、泰勒展开近似、不等式放缩来解决复杂的求导问题。

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