导密-4比值换元联立法

比值换元联立法

  • 注意 联立 , 以及在每一步观察化简后进行下一步,很关键。

一、典型例题1

2011 湖南(文) 22

题目

设函数f(x)=x-1/x-alnx.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个极值点x1和x2,记过点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线的斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.

解法:

注意到$x_1\cdot x_2=1$
以下和极值点偏移基本题型一致:

二、参考典例

2010天津理21题:

题目

已知函数 $f(x) = xe^{-x}$ ($x \in \mathbb{R}$)。

  1. 求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值。
  2. 已知函数 $y = g(x)$ 的图象与函数 $y = f(x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称,证明:当 $x > 1$ 时,$f(x) > g(x)$。
  3. 如果 $x_1 \neq x_2$,且 $f(x_1) = f(x_2)$,证明:$x_1 + x_2 > 2$。

解法 :参考四种方法解极值点偏移

http://139.196.53.116/ml/index.php/archives/1516/

数学思想

$$\boxed{{\tiny \bullet{方程与函数}\circ{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

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