导密-5 lnx的近似

壹、 异边 x在1前后大于小于不一样

一、x>1 ,上界 f(x)>ln(x)

$$ f(x)= \frac{a}{2}(x^{\frac{1}{a}}-x^{-\frac{1}{a}}) $$
|a|越大越接近lnx；
a=1 、2为常见不等式。
a=1:x>1时， $ln(x)<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$
a=2: x>1时，$ln(x)<\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}})$

二、x>1 ,下界 f(x)<ln(x)

$$ f(x)=2a\cdot\frac{x^{\frac{1}{a}}-1}{x^{\frac{1}{a}}+1} $$
|a|越大越接近lnx；
a=1 为常见不等式。
a=1: x>1时，$ln(x)>2\cdot \frac{x-1}{x+1}$

$ln(1+x),ln(1+\frac{1}{x})近似$

三、 x>1, $ln(x)<\frac{1}{2}\cdot (x-\frac{1}{x})$

x>0, $ln(1+x)<\frac{1}{2}\cdot\frac{x(x+2)}{x+1}$

裂项！x>0, $ln(1+\frac{1}{x})=ln(\frac{x+1}{x})<\frac{1}{2}\cdot \frac{2x+1}{x(x+1)}=\frac{1}{2}\cdot (\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1})$

四、 $x>1, ln(x)< \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}}$

x>1, $ln^2(x) < x+\frac{1}{x}- 2 =\frac{(x-1)^2}{x}$

x>0, $ln^2(1+x)<\frac{x^2}{x+1}$

裂项！x>0, $ln^2(1+\frac{1}{x})=ln^2(\frac{x+1}{x})<\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$

贰、 异边 x在0点前后大于小于一样

一、 $ln(x)\le x-1$

推广到一般情况

a>0,|a|越大越接近:
$$ln(x)\le a(x^{\frac{1}{a}}-1)$$
a<0,|a|越大越接近:
$$ln(x)\ge a(x^{\frac{1}{a}}-1)$$
a=1为常见情况：
a=1: $ln(x)\le x-1$

二、 $ln(x)\ge 1-\frac{1}{x}$

推广到一般情况

a>0,|a|越大越接近:
$$ln(x)\ge a\cdot (1- \frac{1}{x^\frac{1}{a}})$$
a<0,|a|越大越接近:
$$ln(x)\le a\cdot (1- \frac{1}{x^\frac{1}{a}})$$
a=1为常见情况：
a=1: $ln(x)\ge 1-\frac{1}{x}$

三、 $ln(1+x)\le x$

推广到一般情况

a>0,|a|越大越接近:
$$ln(1+x)\le a((x+1)^{\frac{1}{a}}-1)$$
a<0,|a|越大越接近:
$$ln(1+x)\ge a((x+1)^{\frac{1}{a}}-1)$$
a=1为常见情况：
a=1: $ln(1+x)\le x$

四、 $ln(1+x)\ge \frac{x}{x+1}$

推广到一般情况

a>0,|a|越大越接近:
$$ln(1+x)\ge a\cdot \frac{(x+1)^{\frac{1}{a}}-1}{(x+1)^{\frac{1}{a}}}$$
a<0,|a|越大越接近:
$$ln(1+x)\le a\cdot \frac{(x+1)^{\frac{1}{a}}-1}{(x+1)^{\frac{1}{a}}}$$
a=1为常见情况：
a=1:$ln(1+x)\ge \frac{x}{x+1}$

ln(x+1)的泰勒展开

$$ln(x+1)= x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}- \frac{x^4}{4}\cdots$$

数学思想

$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\bullet{分类讨论}\bullet{数形结合}\circ{转化与化归} }}$$

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