(2011 年湖北卷(理)21)
(1) 已知函数$f(x) = \ln x - x + 1$，$x \in (0, +\infty)$，求函数$f(x)$的最大值。
(2) 设$a_k, b_k$（$k = 1, 2, \dots, n$）均为正数，证明：
(i) 若$a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n \leq b_1 + b_2 + \cdots + b_n$，则$a_1^{b_1}a_2^{b_2}\cdots a_n^{b_n} \leq 1$。
(ii) 若$b_1 + b_2 + \cdots + b_n = 1$，则$\frac{1}{n} \leq b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n} \leq b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2$。
$\frac{\frac{1}{n} }{b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n}}\le 1$,左边需要化为$\prod c_i$多项乘积。
$$\frac{(\frac{1}{n}) ^{b_1+b_2+\cdots b_n}}{b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n}}\le 1$$
$\prod (\frac{1}{nb_i})^{b_i}\le 1$
因此，构造$a_i = \frac{1}{nb_i}$,应用(i)结论可证
（应用加权算术平均数 大于等于 加权几何平均数立刻可得）
$\frac{b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n}}{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}\le 1$构造多项乘法
$\frac{b_1^{b_1}b_2^{b_2}\cdots b_n^{b_n}}{(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)^{b_1+b_2+\cdots b_n}}\le 1$
即$\prod \frac{b_i^{b_i}}{(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)^{b_i}}$ ,所以，构造$a_i=\frac{b_i}{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}$
$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\circ{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$