2016 年山东卷(理)20
已知 $f(x)=a(x-\ln x)+\frac{2x-1}{x^2}$，其中$a \in \mathbb{R}$。
(1) 讨论 f(x) 的单调性。
(2) 当 a=1 时，证明：对于任意的 $x \in [1,2]$，有$f(x) > f'(x) + \frac{3}{2}$。
(2)转化为$g(x)=f(x)-f'(x)=-lnx +x +\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}-1,x \in[1,2] 的最小值> \frac{3}{2}$
$$g(x) > sth\Rightarrow lnx<sth$$
我们知道$x>1, lnx<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})<x-1$
所以，在直接对g(x)求导得到5次方程不容易因式分解时：
分为两组，lnx的近似为一组，因为lnx-x+1可以消去一次，变为2次方程，因此优先尝试。分组后根据单调性求最值的上界，即：$$g(x)=f(x)-f'(x)=【-lnx +x -1】+【\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}】$$
如果精度不够，尝试用 $lnx<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$
1、优先尝试直接求导，因式分解
2、尝试用 $lnx<x-1$
3、尝试用 $lnx<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$
$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\bullet{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$