不用（无法）求出零点，设为$x_0$，利用方程替换来求其他值
写出关于$x_0$的各种变形形式，方便替换
$f(x) = xe^x - \ln x - x$（$x > 0$），问题为求$f(x)$的最小值。求导有
$$ f'(x) = (x+1) \left( e^x - \frac{1}{x} \right), $$
其中$y = x + 1$无零点。令$g(x) = e^x - \frac{1}{x}$，可以看出$g(x)$单调递增，利用零点存在定理寻找零点区间，
$$ g(1) = e - 1 > 0, \quad g\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{e} - 2 < 0. $$
至于点的选取，就是零点问题中的取点问题，后面章节有介绍。本题比较容易，因为问题中的函数不含参数，因此可以比较容易地取出有效点。存在$x_0 \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right)$使得
$$ g(x_0) = e^{x_0} - \frac{1}{x_0} = 0. $$
我们并不知道这个$x_0$具体是多少，只能证明其存在，就是方程$e^x - \frac{1}{x} = 0$的实数根，我们称其为隐零点。当$0 < x < x_0$时，$f(x)$单调递减；当$x > x_0$时，$f(x)$单调递增。故
$$ f(x)_{\min} = f(x_0) = x_0 e^{x_0} - \ln x_0 - x_0. $$
接下来利用$e^{x_0} - \frac{1}{x_0} = 0$，即$x_0 e^{x_0} = 1$进行替换，则有
$$ x_0 e^{x_0} - \ln x_0 - x_0 = x_0 e^{x_0} - \ln x_0 e^{x_0} = 1. $$
因此$f(x) = xe^x - \ln x - x$的最小值为 1，取等条件就是满足方程$e^x - \frac{1}{x} = 0$的实数根。
$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\circ{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$