| 不等式类型 | 条件 | 不等式内容 | 备注 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| x>1, 上界 | x > 1 | $\ln(x) < \frac{1}{2}(x - \frac{1}{x})$ | a=1 时，$\ln(x) < \frac{a}{2}(x^{\frac{1}{a}}-x^{-\frac{1}{a}})$， | a | 越大越接近lnx |
| x>1, 上界 | x > 1 | $\ln(x) < \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ | a=2 时，$\ln(x) < \frac{a}{2}(x^{\frac{1}{a}}-x^{-\frac{1}{a}})$， | a | 越大越接近lnx |
| x>1, 下界 | x > 1 | $\ln(x) > 2 \cdot \frac{x-1}{x+1}$ | a=1 时，$\ln(x) > 2a\cdot\frac{x^{\frac{1}{a}}-1}{x^{\frac{1}{a}}+1}$， | a | 越大越接近lnx |
| ln(1+x)近似 | x > 0 | $\ln(1+x) < \frac{1}{2} \cdot \frac{x(x+2)}{x+1}$ | - | ||
| ln(1+1/x)近似 | x > 0 | $\ln(1+\frac{1}{x}) < \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1})$ | - | ||
| ln^2(x)近似 | x > 1 | $\ln^2(x) < x + \frac{1}{x} - 2 = \frac{(x-1)^2}{x}$ | $\sqrt{ab}\le \frac{a-b}{lna-lnb}\le \frac{a+b}{2}$ | ||
| ln^2(1+x)近似 | x > 0 | $\ln^2(1+x) < \frac{x^2}{x+1}$ | - | ||
| ln^2(1+1/x)近似 | x > 0 | $\ln^2(1+\frac{1}{x}) < \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ | - | ||
| ln(x) 上界 | x > 0 | $\ln(x) \le x - 1$ | a=1 时，$\ln(x) \le a(x^{\frac{1}{a}}-1)$，a>0， | a | 越大越接近；a<0，不等号反向 |
| ln(x) 下界 | x > 0 | $\ln(x) \ge 1 - \frac{1}{x}$ | a=1 时，$\ln(x) \ge a(1-\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}})$,a>0， | a | 越大越接近；a<0，不等号反向 |
| ln(1+x)上界 | x > -1 | $\ln(1+x) \le x$ | a=1 时，$\ln(1+x) \le a((x+1)^{\frac{1}{a}}-1)$，a>0， | a | 越大越接近；a<0，不等号反向 |
| ln(1+x)下界 | x > -1 | $\ln(1+x) \ge \frac{x}{x+1}$ | a=1 时，$\ln(1+x) \ge a\cdot\frac{(x+1)^{\frac{1}{a}}-1}{(x+1)^{\frac{1}{a}}}$,a>0， | a | 越大越接近；a<0，不等号反向 |
备注：
推广形式 (a ≠ 1):
ln(x+1) 的泰勒展开：
$$ln(x+1)= x- \frac{x^2}{2}+ \frac{x^3}{3}- \frac{x^4}{4}\cdots$$
数学思想：
$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\bullet{分类讨论}\bullet{数形结合}\circ{转化与化归} }}$$