导密-0-导数与近似值

用导数求近似值

2014 新课标卷 II (理)21

题目

已知函数$f(x) = e^x - e^{-x} - 2x$。

(1) 讨论$f(x)$的单调性。
(2) 设$g(x) = f(2x) - 4bf(x)$，当$x > 0$时，$g(x) > 0$，求$b$的最大值。
(3) 已知$1.4142 < \sqrt{2} < 1.4143$，求$\ln 2$的近似值（精确到 0.001）。

思路

（2）求导，换元为2次函数，不忘因式分解，分类讨论

  • 求导后，换元$t=e^x+e^{-x}$后,因式分解
  • 得到$x>0时，b\le 2,g(x)增函数，b>2时，g(x)先减后增，同时g(0)=0.$
  • 得到$b>2时，g(ln(b-1+\sqrt{b^2-2b}))最小，且小于0$

（3）找桥梁、近似、不等式

  • $找到\sqrt{2}与ln2的桥梁$,$g(ln\sqrt{2})=\frac{3}{2}+(4b-2)ln2-2\sqrt{2}b$
  • 利用$g(ln\sqrt{2}) \approx 0$来求近似值
  • 需要适当的b使得$g(ln\sqrt{2}) > 0,g(ln\sqrt{2}) > 0$
  • 当b=2时，$g(ln\sqrt{2}) > 0$
  • 当b>2时,g($ln\sqrt{2})为最小值,且小于零$，$g(ln\sqrt{2}) < 0$，此时结合（2），需要$b-1+\sqrt{b^2-2b} = \sqrt{2}$,即$b=\frac{3\sqrt{2}}{4}+1$

答案

(2) , 当$b \leq 2$时，$g'(x) \geq 0$，等号仅当$x=0$时成立，所以$g(x)$在$(-\infty, +\infty)$单调递增，而$g(0)=0$，所以对任意$x>0$，$g(x)>0$；

当$b>2$时，若$x$满足，$2<e^x+e^{-x}<2b-2$即$0<x<\ln(b-1+\sqrt{b^2-2b})$时$g'(x)<0$，而$g(0)=0$，因此当$0<x\leq \ln(b-1+\sqrt{b^2-2b})$时，$g(x)<0$。综上，$b$的最大值为 2。

(3) , 由 (2) 知，$g(\ln\sqrt{2})=\frac{3}{2}-2\sqrt{2}b+2(2b-1)\ln2$。

当$b=2$时，$g(\ln\sqrt{2})=\frac{3}{2}-4\sqrt{2}+6\ln2>0$，$\ln2>\frac{8\sqrt{2}-3}{12}>0.6928$。  
当$b=\frac{3\sqrt{2}}{4}+1$时，$\ln(b-1+\sqrt{b^2-2b})=\ln\sqrt{2}$。

$$ g(\ln\sqrt{2})=\frac{3}{2}-2\sqrt{2}+(3\sqrt{2}+2)\ln2<0 $$

$$ \ln2<\frac{18+\sqrt{2}}{28}<0.693 $$

数学思想

$$\boxed{{\tiny \circ{方程与函数}\bullet{分类讨论}\circ{数形结合}\bullet{转化与化归} }}$$

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