泰勒展开是一种很好的逼近方法，对许多函数都有着很好的效果．然而，有时泰勒展开对某些带极值的函数逼近的效果却不尽人意，本质原因是多项式级数的局限性．为此，我们转而考虑用分式来逼近函数，即所谓分式逼近．一种分式逼近的最常用方法称为帕德逼近．
对某个函数 f(x)，考虑一个分式$r_{m/n}(x)=p_m(x)q_n(x)$，这里 $p_m(x)、q_n(x) $ 分别为 m、n 次多项式．我们想找到这样的分式，使得对一点 x0 有：
$f(x_0)=r_{m/n}(x_0)$
$f′(x_0)=r_{m/n}′(x_0)$
$f″(x_0)=r_{m/n}″(x_0)$
⋯
$f^{(m+n)}(x_0)=r_{m/n}^{(m+n)}(x_0)$
如果这样的分式 r_{m/n}(x) 存在，我们就称其为原函数的一个帕德逼近．
首先，对函数 $f(x)$，我们先考虑它在 $x_0$ 处的泰勒展开（当然如果该函数是多项式，其泰勒展开就是本身）。设
$$ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k $$
我们只需考虑如下的方程
$$ f(x) - \frac{p_m(x)}{q_n(x)} = 0 $$
由系数的齐次性，不妨设 $q_n(0) = 1$。令
$$ p_m(x) = p_0 + p_1x + p_2x^2 + \cdots + p_mx^m, \quad q_n(x) = q_0 + q_1x + q_2x^2 + \cdots + q_nx^n $$
代入、展开，得方程组
$$ \begin{cases} a_0 = p_0 \\ a_1 + a_0 q_1 = p_1 \\ a_2 + a_1 q_1 + a_0 q_2 = p_2 \\ \vdots \\ a_m + a_{m-1}q_1 + a_{m-2}q_2 + \cdots + a_0 q_m = p_m \\ a_{m+1} + a_m q_1 + a_{m-1}q_2 + \cdots + a_{m-n+1}q_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m+n} + a_{m+n-1}q_1 + a_{m+n-2}q_2 + \cdots + a_m q_n = 0 \end{cases} $$
这里设当 $k < 0$ 时，$a_k = 0$；当 $k > n$ 时，$q_k = 0$。解得
$$ r_{m/n}(x) = \frac{\left| \begin{matrix} a_{m-n+1} & a_{m-n+2} & \cdots & a_{m+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m & a_{m+1} & \cdots & a_{m+n} \end{matrix} \right| \begin{bmatrix} \sum_{j=n}^m a_{j-n}x^j \\ \sum_{j=n-1}^m a_{j-n+1}x^j \\ \vdots \\ \sum_{j=0}^m a_jx^j \end{bmatrix} } {\left| \begin{matrix} a_{m-n+1} & a_{m-n+2} & \cdots & a_{m+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m & a_{m+1} & \cdots & a_{m+n} \end{matrix} \right| \begin{bmatrix} x^n \\ x^{n-1} \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} } $$
此即函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $m/n$ 型帕德逼近。
| $f(x) = \ln x$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | -- | $x - 1$ (恒大于) | $\frac{-x^2 + 4x - 3}{2}$ (先大后小) |
| 1 | -- | $\frac{2x - 2}{x + 1}$ (先小后大) | $\frac{x^2 + 4x - 5}{4x + 2}$ (恒大于) |
| 2 | -- | $\frac{12x - 12}{5 + 8x - x^2}$ (恒大于) | $\frac{3x^2 - 3}{x^2 + 4x + 1}$ (先大后小) |
此外，对函数 f(x)=lnx，一个较为常用的估计式是 $\frac{x^2−1}{2x}$，该分式对函数也有较好的拟合效果．
推广，$\ln x$ 在 $x=1$ 的 $[m, n]$ 阶帕德逼近的常见结论如下：
| $n \backslash m$ | $m = 1$ | $m = 2$ | $m = 3$ |
|---|---|---|---|
| $n = 0$ | $x - 1$ | $\frac{-x^2}{2} + 2x - \frac{3}{2}$ | $\frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 3x - \frac{11}{6}$ |
| $n = 1$ | $\frac{2(x-1)}{x+1}$ | $\frac{x^2 + 4x - 5}{4x+2}$ | $\frac{-x^3 + 9x^2 + 9x - 17}{18x+6}$ |
| $n = 2$ | $\frac{12x - 12}{-x^2 + 8x + 5}$ | $\frac{3x^2 - 3}{x^2 + 4x + 1}$ | $\frac{(x-1)(x^2 + 19x + 10)}{9x^2 + 18x + 3}$ |
| $n = 3$ | $\frac{24x - 24}{x^3 - 5x^2 + 19x + 9}$ | $\frac{57x^2 - 24x - 33}{-x^3 + 24x^2 + 57x + 10}$ | $\frac{(x-1)(11x^2 + 38x + 11)}{3(x^3 + 9x^2 + 9x + 1)}$ |
| f(x) = e^x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | x + 1 | $\frac{x^2 + 2x + 2}{2}$ |
| (先大后小) | (恒小于) | (先大后小) | |
| 1 | $\frac{1}{1 - x}$ | $\frac{2 + x}{2 - x}$ | $\frac{6 + 4x + x^2}{6 - 2x}$ |
| (恒大于) | (先小后大) | (恒大于) | |
| 2 | $\frac{2}{x^2 - 2x + 2}$ | $\frac{2x + 6}{x^2 - 4x + 6}$ | $\frac{x^2 + 6x + 12}{x^2 - 6x + 12}$ |
| (先小后大) | (恒小于) | (先大后小) |
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$当 0<x<1时,\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})<\ln x<\frac{3x^2-3}{x^2+4x+1}<2\frac{x-1}{x+1}$
$当 x>1时,\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})>\ln x>\frac{3x^2-3}{x^2+4x+1}>2\frac{x-1}{x+1}$
$ln(x+1)\approx\frac{3x^2+6x}{x^2+6x+6}x\in(-1,1)$
$e^x\approx \frac{x^2 + 6x + 12}{x^2 - 6x + 12},x\in[-2,2]$
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