已知 $e^{x} \geq k x + 1$恒成立，求 k的取值范围。
注1: 2012年湖南高考试卷中导数解答题第(1)问(改编):已知函数$f(x) = e^{ax} - x - 1$，其中$a \neq 0$，若对一切$x \in \mathbb{R}$，$f(x) \geq 0$恒成立，求$a$的取值集合。
注2: 通过改变定义域，我们可以命制题目：已知$e^x \geq kx + 1$在区间$[0,+\infty)$上恒成立，求$k$的取值范围。
注4: 通过积分可以设置题目：已知$e^x \geq kx^2 + x + 1$在区间$[0,+\infty)$上恒成立，求$k$的取值范围。
注5: 通过积分可以设置题目：已知$e^x \geq kx^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + 1$在区间$[0,+\infty)$上恒成立，求$k$的取值范围。
注6: 通过改变量 5 中参数的位置，我们可以设置题目：已知$e^x \geq x^2 + kx + 1$在区间$[0,+\infty)$上恒成立，求$k$的取值范围。
例题24 已知 $a > 0$ 且
$$ f(x) = a x + \frac{a - 2}{x} + 2 - 2a, $$
若 $f(x) \geq 2 \ln x$在区间$[1, +\infty)$ 上恒成立，求实数 $a$的取值范围。