（正向为切线，反向由x替换为-x得到）
$$ e^{x_0}(1-x_0+x)\le e^x\le \frac{1}{e^{x_0}(1-x_0-x)} $$
| $x_0$ | 不等式 |
|---|---|
| 0 | $1+x\le e^x\le \frac{1}{1-x}$ |
| 1 | $ex\le e^x \le -\frac{1}{ex}$ |
| -1 | $\frac{x+2}{e}\le e^x \le \frac{e}{2-x}$ |
| $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{e}(x+\frac{1}{2})\le e^x \le \frac{1}{\sqrt{e}(\frac{1}{2}-x)}$ |
$$ e^{f(x)}\ge f(x)+1 $$
| $f(x)$ | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| $x-1$ | $e^x\ge ex$ | x=1处切线 |
| $-x$ | $e^x\le\frac{1}{1-x}$ | 制作反向不等式 |
| $x-\frac{1}{2}$ | $e^x\ge \sqrt{e}(x+\frac{1}{2})$ | x=0.5处切线 |
| $x+lnx$ | $xe^x\ge x+lnx+1$ | 模拟题中热门不等式 |
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$
下一项为偶数次才能两侧同向（不用考虑x取值范围）
| 下一项 | 不等式 |
|---|---|
| 2 | $e^x\ge 1+x$ |
| 4 | $e^x\ge 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!}$ |
$$ \frac{2x + 6}{x^2 - 4x + 6} \le e^x \le \frac{6 + 4x + x^2}{6 - 2x} $$
$当x \ge 0时:$
| 来源 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 作差/商可证,计算机作图可得$e^x\ge 1+1.544x^2$ | $e^x\ge 1+x^2$ | $x \ge 0$ |
| $\frac{e^x-e^{-x}}{2}\ge x\ge ln(x+\sqrt{x^2+1})左$ | $e^x\ge 1+xe^{\frac{x}{2}}$ | $x \ge 0$ |
| $\frac{e^x-e^{-x}}{2}\ge x\ge ln(x+\sqrt{x^2+1})右$ | $e^x\ge x+\sqrt{x^2+1}$ | $x \ge 0$ |
$当x \ge 0时:$
| 来源 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 作差可证，反向$e^x\le ex+2(x-1)^2,当0\le x\le 2$ | $e^x\ge ex +(x-1)^2$ | $x \ge 0$ |
$当x \ge 0时:$
$$e^\frac{x+1-n}{n}\ge \frac{x+1}{n},x=n-1时等号成立$$
$$即e^x\ge \frac{e^{n-1}}{n^n}(x+1)^n,x=n-1时等号成立$$
| n | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 1 | $e^x\ge x+1$ | $x \in \R$ |
| 2 | $e^x\ge \frac{e}{4}(x+1)^2$ | $x \ge 0$ |
$当x \ge 0时:$
$$e^x\ge \frac{e(nx+1)(x+n)}{(n+1)^2}$$
| n | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 0 | $e^x\ge ex$ | $x \in \R$ |
| 1 | $e^x\ge \frac{e}{4}(x+1)^2$ | $x \ge 0$ |
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$
下一项为奇数次才能两侧异向（不同x取值范围，不等号改变）
| 下一项 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 3 | $e^x\ge 1+x +\frac{x^2}{2}$ | $x \ge 0$ |
$当x\ge 0时：$
| 大于小于 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 大于 | $e^x\ge \frac{x^2 + 2x + 2}{2}$ | 同泰勒$x \ge 0$ |
| 大于 | $e^x\ge \frac{2}{x^2 - 2x + 2}$ | 上反，$x \ge 0$ |
| 大于 | $e^x\ge \frac{x^2 + 6x + 12}{x^2 - 6x + 12}$ | $x \ge 0$ |
| 小于 | $e^x\le \frac{2 + x}{2 - x}$ | 同侧异向唯一小于！x< 2 |
| 小于 | $e^x\le ex+2(x-1)^2$ | 另：同侧异向小于,当$0\le x\le 2$ |
指数对称式与双曲关系
| 侧向 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 两侧同向 | $e^x+e^{-x}\ge x^2+2$ | $x\in \R,e^x,e^{-x}泰勒展开$ |
| 两侧同向 | $e^x+e^{-x}\ge \frac{x^4}{12}+ x^2+2$ | $x\in \R,e^x,e^{-x}泰勒展开$ |
| 两侧异向 | $e^x-e^{-x}\ge 2x$ | $x\ge 0,e^x,e^{-x}泰勒展开$ |
| 两侧异向 | $e^x-e^{-x}\ge 2x+\frac{x^3}{3}$ | $x\ge 0,e^x,e^{-x}泰勒展开$ |
| 两侧异向 | $\frac{e^x-e^{-x}}{2}\ge x\ge ln(x+\sqrt{x^2+1})$ | $\frac{e^x-e^{-x}}{2}与 ln(x+\sqrt{x^2+1})反函数$ |
指数不等式的ggb文件
指数不等式.zip