（正向为切线，反向由x替换为$\frac{1}{x}$得到）
$$ 1-\frac{x_0}{x} \le ln\frac{x}{x_0}\le\frac{x}{x_0}-1 $$
即：
$$ 1-\frac{x_0}{x} +ln(x_0)\le ln( x)\le\frac{x}{x_0}-1+ln(x_0) $$
即：
$$ 1-\frac{e^n}{x} +n\le ln( x)\le\frac{x}{e^n}-1+n $$
| $x_0$ | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 1 | $1-\frac{1}{x}\le lnx\le x-1$ | $\frac{x}{x+1}\le ln(x+1)\le x$ |
| e | $2-\frac{e}{x}\le ln(x)\le \frac{x}{e}$ | $x>0,x=e取等$ |
| $\frac{1}{e}$ | $-\frac{1}{ex}\le ln(x)\le ex-2$ | $x>0,x=\frac{1}{e}取等$ |
| $\sqrt{e}$ | $\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{e}}{x}\le ln(x)\le \frac{1}{\sqrt{e}}x-\frac{1}{2}$ | $x>0,x=\frac{1}{e}取等$ |
$$ 1-\frac{1}{f(x)}\le ln(f(x))\le f(x)-1 $$
| $f(x)$ | 不等式 | 备注 | ||
|---|---|---|---|---|
| $ex$ | $-\frac{1}{ex}\le ln(x)\le ex-2$ | x=e处切线 | ||
| $\frac{1}{x}$ | $x-1\ge ln(x)\ge 1-\frac{1}{x}$ | 制作反向不等式 | ||
| $xe^x$ | $\frac{1}{1-x-lnx}\ge xe^x\ge x+lnx+1$ | 模拟题中热门不等式 | ||
| $xe^x$ | $1-\frac{1}{xe^x}\le x+lnx \le xe^x -1$ | 模拟题中热门不等式 | ||
| $x^{\frac{1}{a}}$ | $a(1-\frac{1}{x^{\frac{1}{a}}})\le ln(x)\le a(x^{\frac{1}{a}}-1)$ | \ | a\ | 越大越接近lnx |
| $x^{\frac{1}{2}}$ | $2(1-\frac{1}{\sqrt{x}})\le ln(x)\le 2(\sqrt{x}-1)$ | $上式a=2$ |
| 公切线 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| x-1 | $\frac{ln(x)}{x}\le ln(x)\le x-1\le x^2-x$ | x>0,另一个观点是乘÷x加强不等式 |
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (-1 < x \le 1)$$
下一项为偶数次才能两侧同向（不用考虑x取值范围）
| 下一项 | 不等式 | 泰勒 |
|---|---|---|
| 2 | $ln(x)\le x-1$ | $ln(1+x)\le x$ |
| 不等式 | 备注 |
|---|---|
| $ln(x)\le \frac{x^2+4x-5}{4x+2}$ | x>0 |
| $ln(x)\le \frac{12x-12}{5+8x-x^2}$ | $0<x<4+\sqrt{21}$ |
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \quad (-1 < x \le 1)$$
下一项为奇数次才能两侧异向（不同x取值范围，不等号改变）
| 下一项 | 不等式 | 泰勒 |
|---|---|---|
| 3 | $ln(x)\ge \frac{-x^2 + 4x - 3}{2}$ | $ln(x+1)\ge x - \frac{x^2}{2}$ |
$当x\ge 1时：$
| 大于小于 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 大于 | $ln(x)\ge \frac{-x^2 + 4x - 3}{2}$ | 同泰勒$x \ge 1$ |
| 大于 | $ln(x)\ge \frac{3x^2 - 3}{x^2 + 4x + 1}$ | $x \ge 1$，次常见 |
| 大于 | $ln(x)\ge \frac{2x - 2}{x + 1}$ | $x \ge 1$，常见 |
来源$ln(x)\ge \frac{2x - 2}{x + 1}$，推广$x\rightarrow x^{\frac{1}{a}}$
$$ln(x)\ge 2a \cdot \frac{x^{\frac{1}{a}} - 1}{x^{\frac{1}{a}} + 1},\|a\|越大越接近lnx$$
| n | 不等式 | 备注 | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | $ln(x)\ge 2\cdot\frac{x-1}{x+1}$ | $ln(x+1)\ge\frac{2x}{x+2}$ | ||
| 2 | $ln(x)\ge 4\cdot\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$ | \ | a\ | 越大越接近lnx |
来源$ln(x)\ge \frac{3x^2 - 3}{x^2 + 4x + 1}$,换元$x^2\rightarrow x$，得$ln(x)\ge \frac{6(x-1)}{x+1+4\sqrt{x}}$
近似：
| 近似方式 | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| $4\sqrt{x}=2\cdot 2\cdot\sqrt{x}$ | $ln(x)\ge \frac{6(x-1)}{2x+5}$ | 基本不等式放缩 |
| $4\sqrt{x}=2\cdot 1\cdot\sqrt{4x}$ | $ln(x)\ge \frac{6(x-1)}{5x+2}$ | 基本不等式放缩 |
$x\ge 0$时，来源指数不等式$\frac{e^x-e^{-x}}{2}\ge x$，推广$x\rightarrow x^{\frac{1}{a}}$
$$x\ge 1时，ln(x)\le \frac{a}{2}(x^\frac{1}{a}-x^{-\frac{1}{a}}),\|a\|越大越接近lnx$$
两侧异向
| n | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 1 | $ln(x)\le \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$ | $ln(x+1)\le\frac{x^2+2x}{2(x+1)},ln(1+\frac{1}{x})\le\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1})$ |
| 2 | $ln(x)\le \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}$ | $ln^2(x)\le\frac{(x-1)^2}{x},ln^2(1+x)\le\frac{x^2}{x+1}$ |
| 不等式 | 来源 |
|---|---|
| $\sqrt{ab}\le \frac{a-b}{lna-lnb}\le\frac{a+b}{2}$ | $\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\ge lnx\ge 2\cdot\frac{x-1}{x+1},x\rightarrow\frac{a}{b}$ |