题目：
$$ln(x)\le \frac{x}{e}$$
构造函数
$f(x)=ln(x)-\frac{x}{e}$
题目：
$$ln(x)\le \frac{x}{e}$$
构造函数
$f(x)=\frac{ln(x)}{x}$
题目：
$$e^x\ge \frac{e}{4}(x+1)^2$$
构造函数
$f(x)=\frac{(x+1)^2}{e^x}$
题目：
$$lnx <\frac{2x-2}{x+1}$$
构造函数
$g(x) =(x+1)lnx-2(x-1)$
题目：
$$lnx > \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})$$
构造函数：
$g(x) =xlnx-\frac{1}{2}(x^2-1)$
题目：
$$e^x \geq ex + (x-1)^2成立。$$
构造函数
$g(x) = \frac{e^x}{x} - x - \frac{1}{x} - e + 2,$
题目-C1例27：
$$令 \, g(x) = \frac{e^x - x - \frac{1}{2}x^3 - 1}{x^2}, \, 则$$
$$g'(x) = \frac{(x-2)\left(e^x - \frac{1}{2}x^2 - x - 1\right)}{x^3}.$$
构造函数
$h(x) = \frac{\frac{1}{2}x^2 + x + 1}{e^x} \, (x > 0)$
题目-C1指数不等式3
$$当 x=0 时，e^x \geq ex + (x-1)^2 成立。$$
构造函数
$g(x) = \frac{e^x}{x} - x - \frac{1}{x} - e + 2,$
求导得
$g'(x) = \frac{(x-1)(e^x - x - 1)}{x^2},$
其中 $e^x > x + 1$。
若 $0 < x < 1$，则 $g'(x) < 0$，$g(x)$ 单调递减；若 $x > 1$，则 $g'(x) > 0$，$g(x)$ 单调递增，从而
$g(x)_{\min} = g(1) = 0.$
题目-C1例28：
$$ e^{2x} + \ln(x+1) \geqslant (x+1)^2 + x. $$
分组：
$e^{2x} -(x+1)^2 \geqslant x - \ln(x+1)$
构造函数(针对左边)：
$g(x) = e^x - x - 1$
得：$e^x \geqslant x + 1.$
【同构】对其取对数得：$x \geqslant \ln(x+1).$
从而 g(x)⩾g(ln(x+1))，即：
$e^x - x - 1 \geqslant x - \ln(x+1).$
【放缩】又因为：
$e^{2x} - (x+1)^2 \geqslant e^x - (x+1),$
所以：
$e^{2x} + \ln(x+1) \geqslant (x+1)^2 + x.$
命题得证。
题目-C1例28：
定义函数：
$$h(x)=e^{e^{2x}−x^2}−x$$已知不等式：
$e^x≥x+1(当 x=0 时取等号)$推导不等式：
$h(x)≥e^{(x+1)^2−x^2}−x=e⋅e^{2x}−x≥e{(2x+1)}−x=(2e−1)x+e≥e$取等号条件：
当 x=0 时取等号，即 $h(x)_{min}=h(0)=e$结论：
a∈(e,+∞)
题目 ：
证明对数均值不等式：
$$\frac{a-b}{lna-lnb}\le\frac{a+b}{2}$$
构造-- $x=\frac{a}{b}$：
$2lnx\ge \frac{x-1}{x+1}$
题目-C1例35：
$$ \frac{\frac{\ln x_2}{x_2} - \frac{\ln x_1}{x_1}}{x_2 - x_1} > \frac{1 - \ln \sqrt{x_1 x_2}}{x_1 x_2}. $$
构造函数：
不妨设 $x_2 > x_1$，令 $\lambda = \frac{x_2}{x_1}$，则 $\lambda > 1$，要证明
$$ \frac{\frac{\ln x_2}{x_2} - \frac{\ln x_1}{x_1}}{x_2 - x_1} > \frac{1 - \ln \sqrt{x_1 x_2}}{x_1 x_2}, $$
即证明
$$ \frac{\frac{\ln \lambda x_1}{\lambda x_1} - \frac{\ln x_1}{x_1}}{\lambda x_1 - x_1} > \frac{1 - \ln \sqrt{x_1 \lambda x_1}}{x_1 \lambda x_1}, $$
即
$$ \ln \lambda x_1 - \lambda \ln x_1 > (\lambda - 1) \left(1 - \frac{1}{2} \ln \lambda - \ln x_1 \right), $$
整理有
$$ \ln \lambda > \frac{2(\lambda - 1)}{\lambda + 1}. $$
原不等式得证。