$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} $$
$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} $$
$$ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} $$
其中$B_{2n}$是伯努利数。
$$ \cot(x) = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} - \frac{2x^5}{945} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} $$
$$ \sec(x) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \frac{61x^6}{720} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} $$
其中$E_{2n}$是欧拉数。
$$ \csc(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} + \frac{31x^5}{15120} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} $$
常用泰勒展开式及函数能展开为幂级数的充分必要条件. - 知乎
(99+ 封私信 / 99+ 条消息) 做极限题需要用泰勒公式展开时，一些函数展开式背不掉怎么办？有没有什么好方法？ - 知乎