洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是求解不定型极限的一种方法，主要适用于$\frac{0}{0}$和$\frac{\infty}{\infty}$两种不定型。该法则指出，如果$\lim_{x \to c} f(x) = 0$且$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，或者$\lim_{x \to c} f(x) = \infty$且$\lim_{x \to c} g(x) = \infty$，那么
$$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$
只要右侧的极限存在。这里$f'(x)$和$g'(x)$分别是$f(x)$和$g(x)$的导数。
题目：
$$x\rightarrow+\infin,\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$
求导得，$\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$陷入死循环
原式变形$\sqrt{\frac{x^2}{x^+1}}$,再对根号里面的洛必达法则
题目：
$$x\rightarrow+\infin, \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}$$
原式变形：
分子分母同乘$e^x、或者e^{-x}$
题目：
$$x\rightarrow 0^+, \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^{10}}$$
求导得，$\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{10x^{11}}$
原式换元：$t=\frac{1}{x}, t\rightarrow +\infin, \frac{t^{10}}{e^t}$
题目：
$$(e^x-e^{-x})(x-\frac{1}{x})，在x\rightarrow0处极限$$
利用$e^x-e^{-x}\approx 2x+\frac{x^3}{3}或2x$ , 得到极限为-2
题目：
$$(e^x-e^{-x})(x-\frac{1}{x})，在x\rightarrow0处极限$$
变形为 $\frac{x^2-1}{x}\cdot \frac{e^{2x}-1}{e^x} =\frac{-1}{x}\cdot\frac{e^{2x}-1}{e^x}=\frac{1-e^{2x}}{xe^x}$再用洛必达法则