本节不等式都可以用作差法证明
$$x \in[0, \pi/2), sinx \le x \le tanx$$
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} $$
$$ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} $$
$$ \tan(x) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1} $$
记忆：奇偶性、x接近0处近似
| 范围 | 泰勒不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| $x\ge 0$ | $x-\frac{1}{6}x^3 \le \sin x\le x$ | 奇函数，两侧异向 |
| $x\in\R$ | $1-\frac{1}{2}x^2\le \cos x\le1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4$ | 偶函数，两侧同向 |
| $x\in[0,\frac{\pi}{2})$ | $\tan (x)\ge x, tan(x) \ge x + \frac{x^3}{3}$ | 奇函数，两侧异向 |
| 范围 | 泰勒不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| $x\in[-\frac{3}{4}\pi,\frac{3}{4}\pi]$ | $\cos x\le 1-\frac{1}{4}x^2$ | 偶函数，两侧同向 |
| $x\in[0,1.4\pi)$ | $sinx\ge xcosx$ | 来源$\tan x\ge x$,奇函数，两侧异向 |
Jordan不等式：$当0< x\le\frac{\pi}{2}时，\frac{2}{\pi}\le\frac{sinx}{x}<1$
| 范围 | 泰勒不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ | $\sin x\ge \frac{2}{\pi}x$ | 奇函数，两侧异向 |
| $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ | $cosx\ge 1-\frac{2}{\pi}x$ | 非奇非偶，无法推广 |
| $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ | $sinx+cosx\ge1$ | 上两式相加 |
记忆：下面两者都为奇函数，时x接近0的时候的近似，x两侧不等号反向
一、$当x\ge0,a\ge2,\frac{sinx}{a+cosx}\le \frac{x}{a+1}$
| a | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 2 | $\frac{sinx}{2+cosx}\le \frac{x}{3}$ | 可以看作切线 |
| 3 | $\frac{sinx}{3+cosx}\le \frac{x}{4}$ | |
二、$当x\in[0,\frac{\pi}{2}),a\le2时，asinx+tanx\ge (a+1)x$
| a | 不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| 1 | $sinx+tanx\ge 2x$ | |
| 2 | $2sinx+tanx\ge 3x$ | |
| 范围 | 泰勒不等式 | 备注 |
|---|---|---|
| $x\in[0,2\pi ]$ | $sinx\le \frac{6 x}{x^2+6}\le x$ | |
| $x\in[0,\frac{3}{2}\pi ]$ | $\frac{-5x^2+12}{x^2+12}\le cosx\le \frac{2}{x^2+2}$ | |