三角函数不等式
本节不等式都可以用作差法证明
基础三角函数不等式
| 来源 | 不等式 |
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| 单位圆 | $x \in[0, \pi/2), sinx \le x \le tanx$ |
| $cosx\le 1$ | $cos^2x\le cosx$ |
一、泰勒类（记忆：奇偶性、x接近0处近似）
| 函数 | 泰勒展开 | 通项 |
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| $sin(x)$ | $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}$ |
| $cos(x)$ | $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}$ |
| $tan(x)$ | $x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots$ | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}$ |
方式一：简单的泰勒不等式
| 范围 | 泰勒不等式 | 备注 |
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| $x\ge 0$ | $x-\frac{1}{6}x^3 \le \sin x\le x$ | 奇函数，两侧异向 |
| $x\in (0,\frac{\pi}{2})$ | $\sqrt[3]{cosx}\le 1-\frac{x^2}{6}\le \frac{sinx}{x}$ | 由上式推演 |
| $x\in\R$ | $1-\frac{1}{2}x^2\le \cos x\le1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4$ | 偶函数，两侧同向 |
| $x\in[0,\frac{\pi}{2})$ | $\tan (x)\ge x, tan(x) \ge x + \frac{x^3}{3}$ | 奇函数，两侧异向 |
方式二：泰勒不等式加强、变形
| 范围 | 泰勒不等式 | 备注 |
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| $x\in[-\frac{3}{4}\pi,\frac{3}{4}\pi]$ | $\cos x\le 1-\frac{1}{4}x^2$ | 偶函数，两侧同向 |
| $x\in[0,1.4\pi)$ | $sinx\ge xcosx$ | 来源$\tan x\ge x$,奇函数，两侧异向 |
| $x\in [0,\frac{\pi}{2})$ | $xcosx\le\sqrt[3]{cosx}\cdot x\le (1-\frac{x^2}{6})\cdot x\le sinx\le x$ | sinx的下界 |
二、割线构造法
方式三：利用凹凸性和割线构造不等式
Jordan不等式：$当0< x\le\frac{\pi}{2}时，\frac{2}{\pi}\le\frac{sinx}{x}<1$
| 范围 | 割线不等式 | 备注 |
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| $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ | $\sin x\ge \frac{2}{\pi}x$ | 奇函数，两侧异向 |
| $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ | $cosx\ge 1-\frac{2}{\pi}x$ | 非奇非偶，无法推广 |
| $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ | $sinx+cosx\ge1$ | 上两式相加 |
三、三角函数近似x构造
方式四：小量比较
记忆：下面两者都为奇函数，时x接近0的时候的近似，x两侧不等号反向
一、小量比较 sinx-xcosx与 a(x-sinx)
$当x\ge0,a\ge2,\frac{sinx}{a+cosx}\le \frac{x}{a+1}$
| a | 不等式 | 备注 |
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| 2 | $\frac{sinx}{2+cosx}\le \frac{x}{3}$ | 两侧异号 |
| 3 | $\frac{sinx}{3+cosx}\le \frac{x}{4}$ | 两侧异号 |
二、小量比较 tanx-x 与 a(x-sinx)
$当x\in[0,\frac{\pi}{2}),a\le2时，asinx+tanx\ge (a+1)x$
| a | 不等式 | 备注 |
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| 1 | $sinx+tanx\ge 2x$ | 两侧异号 |
| 2 | $2sinx+tanx\ge 3x$ | 两侧异号 |
四、帕德逼近
方式五：帕德逼近
| 范围 | 泰勒不等式 | 备注 |
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| $x\in[0,2\pi ]$ | $sinx\le \frac{6 x}{x^2+6}\le x$ | 两侧异向 |
| $x\in[0,\frac{3}{2}\pi ]$ | $\frac{-5x^2+12}{x^2+12}\le cosx\le \frac{2}{x^2+2}$ | 两侧同向 |
例40
$x\in (0,\frac{\pi}{2}),求证：xsinx+2cosx<2$
$证法一： 求导，后利用sinx>xcosx$
$证法二：tan\frac{x}{2}\ge\frac{x}{2},再化为半角$
- 齐次化时候 tan 为0次
- $用tanx < x误差太大，用tan\frac{x}{2}\ge\frac{x}{2}可以减少余项$