$$ \frac{a^3 + b^3}{2ab} > \frac{2\cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{a + b}}{\frac{(a + b)(a^2 + b^2)}{4ab}} \geq \frac{3}{2} \cdot \frac{a^3 + b^3}{a^2 + ab + b^2} $$
$$ \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} > \sqrt{\frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2}} > \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{a + b}} > \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3a^2 - 2ab + 3b^2} > \sqrt[3]{\frac{a^3 + b^3}{2}} > \frac{3}{4} \cdot \frac{a^4 - b^4}{a^3 - b^3} $$
$$ \ > \sqrt[3]{\frac{3a^3 + 2ab + 3b^3}{4(a + b)}} \ >\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $$
$$ \sqrt[3]{\frac{a^3 + (ab)^{3/2} + b^3}{3}} \ > \frac{1}{3} \cdot \sqrt{4a^2 + ab + 4b^2} > \frac{2}{3} \cdot \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b} > \frac{a - b}{2} $$
$$ \ > \frac{(a + b)(a^2 + b^2)}{4} > \left(\frac{a^{\frac{5}{3}} + b^{\frac{5}{3}}}{2}\right)^{\frac{3}{5}} > \frac{a - b}{2 \arctan \frac{a + b}{a - b}} > \frac{\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} d\theta}{\pi} $$
$$ \ > \sqrt[3]{\left(\frac{a^3 + b^3}{2}\right)^{\frac{3}{2}}} > \sqrt{\frac{a^2 + ab + b^2}{3}} > \frac{a + b}{2} $$
$$ \ >\sqrt{\frac{(2a + b)(a + 2b)}{3}} > \left(\frac{\frac{3}{2}a^4 + \frac{1}{2}b^4}{2}\right)^{\frac{1}{3}} > \left(\frac{a + b}{2}\right)^{\frac{4}{3}} \cdot \left(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{2}\right)^{\frac{1}{3}} > \left(\frac{\frac{3}{2}a^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{2}b^{\frac{2}{3}}}{2}\right)^{\frac{3}{2}} $$
$$ \ > \frac{a + \sqrt{ab} + b}{3} > \frac{a - b}{2 \arcsin \frac{a - b}{a + b}} > \left(\frac{\frac{3}{4}a + \frac{3}{4}b}{2}\right)^{\frac{5}{3}} > \left(\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{2}\right)^2 $$
$$ \ > \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{2} \sqrt{\left(\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{b^2}}{2}\right)^2} > \frac{\sqrt[3]{ab} \cdot \frac{3}{2}a^2 + \frac{3}{2}b^2}{2} > \sqrt[3]{\frac{ab(a + b)}{2}} $$
$$ \ > \frac{\sqrt[3]{ab} \left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)^2}{2} > \frac{\sqrt[3]{ab} \left(\frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{2}\right)^2}{2} > \sqrt[3]{ab} > \sqrt[3]{\frac{2a^2b^2}{a + b}} > \frac{\ln \frac{1}{a} - \ln \frac{1}{b}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $$
$$ \ > \frac{3ab}{a + \sqrt{ab} + b} > e^{\left(\frac{a^3}{b^3}\right)^{\frac{1}{3a - b}}} > \frac{2ab}{a + b} > \sqrt{\frac{2a^2b^2}{a^2 + b^2}} > \frac{ab}{a + b - \sqrt{ab}} > \left(a^3b^a\right)^{\frac{1}{a + b}} $$