https://blog.csdn.net/shelldon/article/details/54144730
https://www.sohu.com/a/154248652_694235
https://www.zhihu.com/question/22072020?sort=created

一、什么是Erasure Code

EC的定义：Erasure Code是一种编码技术，它可以将n份原始数据，增加m份数据，
并能通过n+m份中的任意n份数据，还原为原始数据。
即如果有任意小于等于m份的数据失效，仍然能通过剩下的数据还原出来。

相比多副本复制而言，纠删码能够以更小的数据冗余度获得更高数据可靠性，但编码方式较复杂，需要大量计算。纠删码只能容忍数据丢失，无法容忍数据篡改，纠删码正是得名与此。

目前，纠删码技术在分布式存储系统中的应用主要有三类，阵列纠删码（Array Code: RAID5、RAID6等）、RS(Reed-Solomon)里德-所罗门类纠删码和LDPC(LowDensity Parity Check Code)低密度奇偶校验纠删码。

二、Reed-Solomon Code

 RS code是基于有限域的一种编码算法，
 在RS code中使用GF(2^w)，其中2^w >= n + m。

给定n个数据块（Data block）D1、D2……Dn，和一个正整数m，RS根据n个数据块生成m个编码块（Code block），C1、C2……Cm。
解码：对于任意的n和m，从n个原始数据块和m个编码块中任取n块就能解码出原始数据，即RS最多容忍m个数据块或者编码块同时丢失。

1、编码过程

把输入数据视为向量D=(D1，D2，..., Dn）, 编码后数据视为向量（D1, D2,..., Dn, C1, C2,.., Cm)，RS编码可视为如下图所示矩阵运算。

上图最左边是编码矩阵（或称为生成矩阵、分布矩阵，Distribution Matrix），编码矩阵需要满足任意n*n子矩阵可逆。
为方便数据存储，编码矩阵上部是单位阵（n行n列），下部是m行n列矩阵。下部矩阵可以选择范德蒙德矩阵或柯西矩阵。后文说明。

2、解码过程

(1)假设D1、D4、C2丢失，从编码矩阵中删掉丢失的数据块/编码块对应的行。

根据图1所示RS编码运算等式，可以得到如下B' 以及等式

（2）由于B' 是可逆的，记B'的逆矩阵为 (B'^-1)，则B' * (B'^-1) = I 单位矩阵。两边左乘B' 逆矩阵。

（3）得到如下原始数据D的计算公式

即恢复原始数据D：

3、RS code编码的限制

1）数据恢复代价高和数据更新代价高，因此常常针对只读数据，或者冷数据。
2）RS编码依赖于两张2^w-1大小的log表，通常只能采用16位或者8位字长，不能充分利用64位服务器的计算能力，具体实现上可能要做一些优化。

三、编码矩阵

1、基于范德蒙德（Vandermonde）矩阵

在线性代数中有一种矩阵称为范德蒙德矩阵，它的任意的子方阵均为可逆方阵。一个m行n列的范德蒙德矩阵定义如下，其中$$a_i$$ 均不相同，且不为0。

令$$a_1、a_2\cdots a_n$$分别为1、2、3...n，则得到范德蒙德矩阵为：

编码矩阵就是单位矩阵和范德蒙德矩阵的组合。输入数据（D）和编码矩阵的乘积就是编码后的数据。

算法复杂度
采用这种方法的算法复杂度还是比较高的，编码复杂度为O（mn），其中m为校验数据个数，n为输入数据个数。解码复杂度为O（n^3）。

2、基于柯西（ Cauchy）矩阵

https://www.cnblogs.com/med-dandelion/p/4532302.html
柯西矩阵的任意一个子方阵都是奇异矩阵，存在逆矩阵。而且柯西矩阵在迦罗华域上的求逆运算，可以在O（n^2）的运算复杂度内完成。

使用柯西矩阵，比范德蒙德矩阵的优化主要有两点：
1）降低了矩阵求逆的运算复杂度。范德蒙矩阵求逆运算的复杂度为O（n^3），而柯西矩阵求逆运算的复杂度仅为O（n^2）。
2）通过有限域转换，将GF（2^w）域中的元素转换成二进制矩阵，将乘法转换为逻辑与，降低了乘法运算复杂度。（二进制的加法即XOR，乘法即AND）

柯西矩阵的描述如下：
Xi 和Yi 都是迦罗华域GF（2^w）中的元素。
基于柯西矩阵的编码矩阵：

3、柯西编解码过程优化

柯西编解码为了降低乘法复杂度，采用了有限域上的元素都可以使用二进制矩阵表示的原理，将乘法运算转换成了迦罗华域“AND运算”和“XOR逻辑运算”，提高了编解码效率。

从数学的角度来看，在迦罗华有限域中，任何一个GF（2^w）域上的元素都可以映射到GF（2）二进制域，并且采用一个二进制矩阵的方式表示GF（2^w）中的元素。

例如，GF（2^3）域中的元素可以表示成GF（2）域中的二进制矩阵：

上图中，黑色方块表示逻辑1，白色方块表示逻辑0。通过这种转换，GF（2^w）域中的阵列就可以转换成GF（2）域中的二进制阵列。生成矩阵的阵列转换表示如下：

在GF（2^w）域中的编码矩阵为K（K+m），转换到GF（2）域中，使用二进制矩阵表示，编码矩阵变成了wk w(k+m)二进制矩阵。

采用域转换的目的是简化GF（2^w）域中的乘法运算。在GF（2）域中，乘法运算变成了逻辑与运算，加法运算变成了XOR运算，可以大大降低运算复杂度。
和范德蒙编解码中提到的对数/反对数方法相比，这种方法不需要构建对数/反对数表，可以支持w为很大的GF域空间。采用这种有限域转换的方法之后，柯西编码运算可以表示如下：

算法复杂度
使用柯西矩阵要优于范德蒙德矩阵的方法，柯西矩阵的运算复杂度为O（n *（n - m）），解码复杂度为O（n^2）。

四、参数w影响

选择GF（2^w）中的w参数是，需要满足k+n <= 2^w。
对于柯西矩阵的RS编码，还需要满足coding Block size % ( w * packet ) == 0。（具体参数设置和意义见 Jerasure实现）
关于Erasure Code，有一个开源的实现Jerasure，是由James S. Plank教授开发。还有一个开源项目FECpp，也是关于EC code的。地址见后。

五、RS编码升级

1、LRC - Locally Repairable Code 本地副本存储

LRC编码与RS编码方式基本相同，同时增加了额外的数据块副本。

LRC编码本质上是RS编码+2副本备份。
LRC编码步骤如下：
a）对原始数据使用RS编码，例如编码为4：2，编码结果为4个数据块：D1、D2、D3、D4，2个编码块C1、C2；
b）原始数据做2副本，将4个数据块的前2个数据块和后2个数据块，分别生成2个编码块，即R1=D1D2，R2=D3D4；
c）如果某一个数据块丢失，例如D2丢失，则只需要R1和D1即可恢复D2；

LRC的编码矩阵中增加了步骤b的2副本编码，样子如下：
  ![ec16.jpg][15]
LRC增加了副本数量，使用了更多的存储空间，来减少恢复数据块时读取块的数量，节省恢复数据使用的网络IO和CPU。

2、SEC - Sparse Erasure Code 稀疏纠删码

LRC编码中只对数据块做了2副本，当编码块丢失时，仍然需要读取n块数据来重新计算编码块。
SEC编码中对数据块和编码块都做增加了校验块。

SEC编码本质上是RS编码+奇偶校验块。
SEC编码步骤如下：
a）对原始数据使用RS编码，例如编码为4：2，编码结果为4个数据块：D1、D2、D3、D4，2个编码块C1、C2；
b）生成D1D2的校验块X1，D3D4的校验块X2，C1C2的校验块X3；
c）当数据块或编码块中的某一个丢失时，例如C2丢失，通过C1和校验块X3即可恢复C2；

SEC同样通过增加存储块，减少了恢复数据是的网络和CPU开销。

六、FEC 介绍

在信息中按照某种规则加上一定的冗余位，构成一个码字，称为差错控制编码过程。
在接收端接收到码字，或从存储设备中读取码字后，查看信息位和冗余位，并检查他们之间的关系是否正确，以确定是否有差错发生，称为校验。

Forward Error Correction，FEC- 前向纠错编码技术通过在传输码列中加入冗余纠错码，在一定条件下，通过解码可以自动纠正传输误码。这种编码的译码设备较复杂。

除FEC之外，还有两种差错控制编码：Automatic repeat request（ARQ）检错重发（或自动请求重传），Hybrid Error Correction（HEC）混合纠错。

检错重发由发送端送出能够发现错误的码，接收端如果发现错误，通过反向信道把这一判决结果反馈给发送端。然后，发送端把接收端认为错误的信息再次重发。其特点是需要反馈信道，译码设备简单。

混合纠错是 ARQ和 FEC方式的混合。发送端同时送出具有检错和纠错能力的码，如果接收端收到信码在纠错能力以内，则自动进行纠正。如果超出纠错能力，则经过反馈信道请求发送端重发。

七、附开源实现

jerasure开源实现
git@lab.jerasure.org:jerasure/jerasure.git
http://lab.jerasure.org/jerasure/jerasure.git
git@lab.jerasure.org:jerasure/gf-complete.git
http://lab.jerasure.org/jerasure/gf-complete.git

FECpp 开源实现
https://github.com/randombit/fecpp

八、补充特殊矩阵

希尔伯特矩阵是一种特殊的柯西矩阵：是一种数学变换矩阵，正定，且高度病态（即，任何一个元素发生一点变动，整个矩阵的行列式的值和逆矩阵都会发生巨大变化），病态程度和阶数相关。

希尔伯特矩阵也是一种特殊的汉克尔矩阵

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纠删码EC与伽罗华域-算法理解