| 方程名称 | 公式 | 适用条件 | 限制条件 | 几何意义 |
|---|---|---|---|---|
| 一般式 | $Ax + By + C = 0$（$A,B$不同时为0） | 所有二维直线 | 无法直接体现斜率和截距 | 通用表示，法向量为$(A,B)$ |
| 点斜式 | $y - y_0 = k(x - x_0)$ | 已知斜率$k$和一点$(x_0,y_0)$ | 不能表示垂直直线（$x=a$） | 斜率为$k$，过定点 |
| 斜截式 | $y = kx + b$ | 已知斜率$k$和 y 截距$b$ | 不能表示垂直直线 | 斜率为$k$，y 截距为$b$ |
| 两点式 | $\frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1}$ | 已知两点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$ | 两点不能水平或垂直（$x_1 \neq x_2$,$y_1 \neq y_2$） | 通过两点的直线 |
| 截距式 | $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ | 已知 x 截距$a$、y 截距$b$ | 不能过原点或平行坐标轴 | 截距直观，便于绘图 |
| 点法式 | $A(x-x_0) + B(y-y_0) = 0$ | 已知法向量$(A,B)$和一点$(x_0,y_0)$ | 无 | 法向量垂直于直线 |
| 点向式 | $\frac{x-x_0}{u} = \frac{y-y_0}{v}$ | 已知方向向量$(u,v)$和一点$(x_0,y_0)$ | 方向向量分量不能为零（$u,v \neq 0$） | 方向向量平行于直线 |
| 向量式 | $\mathbf{r} = \mathbf{r_0} + t\mathbf{d}$ | 已知位置向量$\mathbf{r_0}$和方向向量$\mathbf{d}$，参数$t \in \mathbb{R}$ | 无 | 参数化描述直线轨迹 |
| 参数式（二维） | $\begin{cases} x = x_0 + ut \\ y = y_0 + vt \end{cases}$ | 同向量式，参数化表示 | 无 | 适用于动态轨迹分析 |
| 法线式 | $x\cos\alpha + y\sin\alpha = p$ | 已知直线到原点距离$p$和法线倾角$\alpha$ | 需归一化（$\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$） | 几何意义明确，用于距离计算 |
| 交点式 | $f_1(x,y) \cdot m + f_2(x,y) = 0$ | 表示过两直线$f_1(x,y)=0$和$f_2(x,y)=0$交点的所有直线 | 需先确定两直线交点 | 几何意义明确 |
| 点平式 | $f(x,y) - f(x_0,y_0) = 0$ | 过点$(x_0,y_0)$且与直线$f(x,y)=0$平行的直线 | 需已知平行条件 | 几何意义明确 |
| 三维对称式 | $\frac{x-x_0}{u} = \frac{y-y_0}{v} = \frac{z-z_0}{w}$ | 三维空间中已知方向向量$(u,v,w)$和一点$(x_0,y_0,z_0)$ | 方向向量分量非零 | 三维直线标准表示 |
| 三维参数式 | $\begin{cases} x = x_0 + ut \\ y = y_0 + vt \\ z = z_0 + wt \end{cases}$ | 同向量式在三维的扩展 | 无 | 空间直线动态描述 |
• 点向式：基于方向向量（平行方向），适用于已知直线方向。
• 水平直线：斜截式$y=b$或向量式$\mathbf{r} = (0,b) + t(1,0)$。
• 计算机图形学：参数式和向量式（便于迭代和渲染）。
• 物理学：参数式描述运动轨迹（如匀速直线运动）。
两点式的乘法形式（不用考虑斜率不存在）,以及几何意义：
面积相等，一个是OMN 另一个是MN平移到原点后利用平行四边形对角线平分面积来算。
此表格覆盖了从基础到高阶的直线方程形式，可根据具体问题选择最简表示方法。