在具有长轴2a和短轴2b的椭圆中，长轴上的顶点具有任何点的最小曲率半径，
$$R=\frac{b^2}{a}$$
并且短轴上的顶点具有任何点的最大曲率半径
$$R=\frac{a^2}{b}$$
1. 椭圆标准方程及参数化
椭圆的标准方程为：
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b)$
参数方程可表示为：
$x = a \cos\theta, \quad y = b \sin\theta$
其中，$\theta$ 为参数，$a$ 和$b$ 分别为长半轴和短半轴。
2. 曲率半径的通用公式
曲率半径$R$ 的公式为：
$R = \frac{(1 + y'^2)^{3/2}}{|y''|}$
其中$y' = \frac{dy}{dx}$，$y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$。
对于参数方程$x(\theta), y(\theta)$，曲率半径公式可转换为：
$R = \frac{(\dot{x}^2 + \dot{y}^2)^{3/2}}{|\dot{x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}|}$
（点号表示对$\theta$ 的导数）。
3. 对椭圆参数方程求导
计算导数：
• 一阶导数：
$\dot{x} = -a \sin\theta, \quad \dot{y} = b \cos\theta$
• 二阶导数：
$\ddot{x} = -a \cos\theta, \quad \ddot{y} = -b \sin\theta$
代入曲率半径公式：
$R = \frac{(a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta)^{3/2}}{|(-a \sin\theta)(-b \sin\theta) - (-a \cos\theta)(b \cos\theta)|} = \frac{(a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta)^{3/2}}{ab (\sin^2\theta + \cos^2\theta)}$
化简后得：
$R = \frac{(a^2 \sin^2\theta + b^2 \cos^2\theta)^{3/2}}{ab}$
4. 分析长轴端点（$\theta = 0$ 或$\pi$）
• 长轴端点坐标为$(\pm a, 0)$，对应$\theta = 0$ 或$\pi$。
• 代入$\cos\theta = \pm 1$，$\sin\theta = 0$：
$R = \frac{(b^2 \cdot 1)^{3/2}}{ab} = \frac{b^3}{ab} = \frac{b^2}{a}$
因此，长轴端点的曲率半径最小，为$R_{\text{min}} = \frac{b^2}{a}$。
5. 分析短轴端点（$\theta = \frac{\pi}{2}$ 或$\frac{3\pi}{2}$）
• 短轴端点坐标为$(0, \pm b)$，对应$\theta = \frac{\pi}{2}$ 或$\frac{3\pi}{2}$。
• 代入$\cos\theta = 0$，$\sin\theta = \pm 1$：
$R = \frac{(a^2 \cdot 1)^{3/2}}{ab} = \frac{a^3}{ab} = \frac{a^2}{b}$
因此，短轴端点的曲率半径最大，为$R_{\text{max}} = \frac{a^2}{b}$。
• 长轴端点：椭圆在此处最“尖锐”，弯曲程度最大，故曲率半径最小。
• 短轴端点：椭圆在此处最“平缓”，弯曲程度最小，故曲率半径最大。
物理方法的验证（补充）
通过行星在椭圆轨道运动的物理模型（开普勒定律、机械能守恒、牛顿第二定律），可推导出相同结果：
• 长轴端点（近日点）：法向加速度$a_n = \frac{v^2}{R}$ 与引力平衡，最终得$R = \frac{b^2}{a}$。
• 短轴端点：通过对称性分析得出$R = \frac{a^2}{b}$。
椭圆长轴端点的曲率半径为$R_{\text{min}} = \frac{b^2}{a}$，短轴端点的曲率半径为$R_{\text{max}} = \frac{a^2}{b}$，两者分别对应椭圆弯曲程度的最大和最小值。
[椭圆的曲率半径--转换法
](https://www.bilibili.com/video/BV1jr4y1K73e)
[运用物理方法推导椭圆的曲率半径--机械能
](https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzkxNzg2NTI1NQ==&mid=2247483950&idx=1&sn=0bf8258e435c01bd7501ce128304b16d&chksm=c0ac5acae98df0b1c1ea34bfc2805d752d2fbc4c7fa11038539f0e2897f576f8fe3d0ef5eade#rd)