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外心坐标公式的正确形式应基于各顶点自身的坐标平方和，而非其他顶点。以下是修正后的公式及详细解释：
外心 ( O ) 的坐标计算公式为：
[
O_x = frac{A^2(B_y - C_y) + B^2(C_y - A_y) + C^2(A_y - B_y)}{D}
]
[
O_y = frac{A^2(C_x - B_x) + B^2(A_x - C_x) + C^2(B_x - A_x)}{D}
]
其中：
假设三角形顶点为 ( A(x_1, y_1) ), ( B(x_2, y_2) ), ( C(x_3, y_3) )，外心 ( O(x, y) ) 满足：
[
(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = (x - x_3)^2 + (y - y_3)^2
]
通过解两个垂直平分线方程，可得上述公式。分母 ( D ) 对应三角形面积的 4 倍，确保公式在非退化三角形下有效。
顶点 ( A(0,0) ), ( B(2,0) ), ( C(1, sqrt{3}) )，外心应为 ( (1, sqrt{3}/3) )。
A^2 = 0^2 + 0^2 = 0, quad B^2 = 2^2 + 0^2 = 4, quad C^2 = 1^2 + (sqrt{3})^2 = 4
]
D = 2 left[ 0(0 - sqrt{3}) + 2(sqrt{3} - 0) + 1(0 - 0) right] = 4sqrt{3}
]
O_x = frac{0(0 - sqrt{3}) + 4(sqrt{3} - 0) + 4(0 - 0)}{4sqrt{3}} = frac{4sqrt{3}}{4sqrt{3}} = 1
]
[
O_y = frac{0(1 - 2) + 4(0 - 1) + 4(2 - 0)}{4sqrt{3}} = frac{0 - 4 + 8}{4sqrt{3}} = frac{4}{4sqrt{3}} = frac{1}{sqrt{3}}
]
结果与外心理论值一致。
顶点 ( A(0,0) ), ( B(0,3) ), ( C(4,0) )，外心为斜边中点 ( (2, 1.5) )。
A^2 = 0, quad B^2 = 0^2 + 3^2 = 9, quad C^2 = 4^2 + 0^2 = 16
]
D = 2 left[ 0(3 - 0) + 0(0 - 0) + 4(0 - 3) right] = -24
]
O_x = frac{0(3 - 0) + 9(0 - 0) + 16(0 - 3)}{-24} = frac{-48}{-24} = 2
]
[
O_y = frac{0(4 - 0) + 9(0 - 4) + 16(0 - 0)}{-24} = frac{-36}{-24} = 1.5
]
结果正确。
用户原公式中的 ( A^2, B^2, C^2 ) 错误地定义为其他顶点的坐标平方和，正确应为本顶点的平方和。修正后公式通过示例验证，确保准确性。