三角形外心

【外心的定义】

三角形外接圆的圆心称为外心，记为$O$。外心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三个顶点的距离相等：
$$ OA = OB = OC $$

【外心的存在性证明】

定理：三角形三边的垂直平分线共点，且该点到三个顶点距离相等。

证明：

设$\triangle ABC$，作$AB$和$AC$的垂直平分线$l_1$和$l_2$，交于点$O$
根据垂直平分线性质：
- $O \in l_1 \Rightarrow OA = OB$
- $O \in l_2 \Rightarrow OA = OC$
故$OB = OC$，说明$O$也在$BC$的垂直平分线上
因此三条垂直平分线共点，且$OA = OB = OC$

【外心的性质】

位置特性

三角形类型与外心位置：
- 锐角三角形：外心在三角形内部
- 直角三角形：外心在斜边中点（$R = \frac{c}{2}$）
- 钝角三角形：外心在三角形外部
- 等边三角形：外心与内心、重心重合

角度关系

圆心角定理：
对任意$\triangle ABC$，有：

$$\angle BOC = 2\angle A$$
证明：由圆心角与圆周角关系，弧$BC$对应圆心角为$2\angle A$

角度和关系：
在$\triangle ABC$中，外心$O$满足：

$$\angle OAC + \angle B = 90^\circ$$

向量性质

向量表达式：
对于非直角$\triangle ABC$，点$G$为外心的充要条件：

$$ \vec{PG} = \frac{(\tan B + \tan C)\vec{PA} + (\tan C + \tan A)\vec{PB} + (\tan A + \tan B)\vec{PC}}{2(\tan A + \tan B + \tan C)} $$

或等价形式：

$$ \vec{PG} = \frac{\cos A}{2\sin B\sin C}\vec{PA} + \frac{\cos B}{2\sin C\sin A}\vec{PB} + \frac{\cos C}{2\sin A\sin B}\vec{PC} $$

验证：

要证明条件①或②是非直角△ABC外心的充要条件，可通过以下步骤进行：

步骤1：验证系数和

对于任意点G的向量表达式，若其系数和为1，则G位于平面ABC内。或者此时ABC退化为点。

条件①的系数和为：

$$ \frac{(\tan B + \tan C) + (\tan C + \tan A) + (\tan A + \tan B)}{2(\tan A + \tan B + \tan C)} = \frac{2(\tan A + \tan B + \tan C)}{2(\tan A + \tan B + \tan C)} = 1. $$

条件②的系数和为：

$$ \frac{\cos A}{2 \sin B \sin C} + \frac{\cos B}{2 \sin C \sin A} + \frac{\cos C}{2 \sin A \sin B}. $$

利用三角恒等式 (cos A = sin B sin C - cos B cos C)（由 (A + B + C = pi)），代入化简后和为1。

步骤2：利用三角恒等式证明条件等价性

已知在非直角三角形中，$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$，且 $\tan B + \tan C = \frac{\sin A}{\cos B \cos C}$。

条件①的系数可转换为：

$$ \frac{\tan B + \tan C}{2(\tan A + \tan B + \tan C)} = \frac{\sin A}{2 \cos B \cos C \cdot \tan A \tan B \tan C} = \frac{\cos A}{2 \sin B \sin C}. $$

这与条件②的系数一致。因此，条件①和②的系数等价。

步骤3：验证外心性质

假设G满足条件①或②，需证明G是外心（即到A、B、C等距）。

外心定义：外心是三条边垂直平分线的交点。
向量法验证：设G为条件②的表达式，计算其到各顶点的距离。
利用正弦定理 $a = 2R \sin A$ 和余弦定理，可证 (|G - A| = |G - B| = |G - C| = R)（R为外接圆半径）。
垂直平分线验证：验证G在边BC的垂直平分线上，即满足 $(G - \frac{B+C}{2}) \cdot (C - B) = 0$，同理适用于其他边。

证法

利用外心坐标公式证明条件②

向量正交条件：
点$G$为外心的充要条件：

$$ (\vec{GA} + \vec{GB}) \cdot \vec{AB} = (\vec{GB} + \vec{GC}) \cdot \vec{BC} = (\vec{GC} + \vec{GA}) \cdot \vec{CA} = 0 $$

向量关系：
点$G$为外心的充要条件：

$$ S_{GAB} \cdot \vec{GC} + S_{GBC} \cdot \vec{GA} + S_{GAC} \cdot \vec{GB} = \vec{0} $$

【外接圆作图法】

任选两边（如$AB$和$AC$），作其中垂线
两中垂线的交点即为外心$O$
以$O$为圆心，$OA$为半径作圆

【外接圆半径公式】

设三角形三边为$a,b,c$，对应角为$A,B,C$，面积为$S$，则半径：

$$ R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C} = \frac{abc}{4S} $$

【重要推论】

正弦定理：

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$

外心坐标公式：
在平面直角坐标系中，设顶点坐标为$(x_i,y_i)$，则外心坐标$(X,Y)$满足：

$$ \begin{cases} (X - x_1)^2 + (Y - y_1)^2 = (X - x_2)^2 + (Y - y_2)^2 \\ (X - x_2)^2 + (Y - y_2)^2 = (X - x_3)^2 + (Y - y_3)^2 \end{cases} $$

外心 ( O ) 的坐标计算公式为：

$$ O_x = \frac{A^2(B_y - C_y) + B^2(C_y - A_y) + C^2(A_y - B_y)}{D} $$

$$ O_y = \frac{A^2(C_x - B_x) + B^2(A_x - C_x) + C^2(B_x - A_x)}{D} $$

其中：

$A^2 = A_x^2 + A_y^2$（顶点 ( A ) 的坐标平方和）
$B^2 = B_x^2 + B_y^2$（顶点 ( B ) 的坐标平方和）
$C^2 = C_x^2 + C_y^2$（顶点 ( C ) 的坐标平方和）
$D = 2 \left[ A_x(B_y - C_y) + B_x(C_y - A_y) + C_x(A_y - B_y) \right]$

通过解两个垂直平分线方程，可得上述公式。分母 ( D ) 对应三角形面积的 4 倍，确保公式在非退化三角形下有效。

发表新评论

外心文章2