群论- 拉格朗日定理、柯西定理、西罗定理
一、关于子群的阶：
拉格朗日定理 =》
柯西定理、西罗定理 《=
二、拉格朗日定理
设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。
定理的证明是运用H在G中的左陪集。
H在G中的每个左陪集都是一个等价。三、柯西定理
G是一个有限群且p是一个可整除G之阶（G的元素数目）的质数，则G会有一个p阶的元素。
即存在 p阶子群－由柯西定理内之元素产生的循环群。
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1 柯西定理扩展
定理：若群G的元素个数能被素数p整除，则其必有以p为阶的元素。且p阶元素个数可以写为 (p-1)(pt+1),t>=0.
2 柯西定理证明
https://zhuanlan.zhihu.com/p/62364786
3 应用 15阶群必是循环群。
假设15阶群不是循环群，那么它必不含有15阶元素。所以它的元素阶数要么是5，要么是3。
用上述定理，设5阶元素个数为(5-1)(5x+1)=20x+4 ,显然x不可能是1，要不然就超出15了，所以x必为0，即5阶元素只可能有4个。除了单位元1之外，其余元素必为3阶元素，所以3阶元素必有10个。
再用上述定理，3阶元素个数可写为：(3-1)(3y+1)=6y+2 ,此表达式怎么也不可能等于10，所以矛盾。所以15阶群必是循环群。
4 应用 若群G有pq个元素，p和q均为素数，且p<q。若 p整除不了 q-1 ,则群G必为循环群。
证明从略
西罗定理
https://zhuanlan.zhihu.com/p/30845557
p-群:阶为素数$$p^k,k \geq 1$$的群
p-子群:阶为素数$$p^k,k \geq 1$$的子群
四、第一Sylow定理
设G是以阶为$$m\times p^r$$ 的有限群，r >=1，p是素数，(p,m)=1，对每个 i (1<=i<=r ),G中含有 $$p^i$$阶的子群，并且G中每个$$p^i$$ 阶的子群是某个 $$p^{i+1}$$ 阶子群的正规子群。
上面G中阶为$$p^r$$ 的子群叫西罗p子群
五、第二Sylow定理
设H是有限群G的一个p-子群，P是G的一个Sylow p-子群，则存在x属于G，使得H包含于 $$xPx^{-1}$$ ，特别地，G的任意两个Sylow p-子群共轭。
推论：如果群 G 只有一个西罗p子群 N ,则N 是 G 的正规子群。
六、第三Sylow定理
设G是一个有限群，p是一个素数，则G的Sylow p子群的个数$$n_p$$是|G|的一个因子，且$$n_p$$ ≡ 1 (mod p)。
推论：
$$n_p$$ | m
|G| | $$n_p$$!
七、西罗定理应用
1、证明15阶群G必是循环群
$$ 15=3 \times 5 $$考虑 $$n_3$$|5,$$n_3$$ ≡ 1 (mod 3),所以$$n_3$$ = 1,同理 $$n_5$$ = 1.
所以子群$$P_3$$,$$P_5$$必为正规子群，各取其中一个元素a,b,阶分别为3,5(因为阶为素数的群是循环群).
我们来看看ab: $$aba^{-1}b^{-1} = (aba^{-1})b^{-1} = a(ba^{-1}b^{-1}) $$
可知$$aba^{-1}b^{-1} $$在$$P_3$$,$$P_5$$两个群的交集内。
但这两个群的交集只有一个元素e。所以$$aba^{-1}b^{-1} = e$$,所以ab = ba.
易知ab的阶为15，所以G为循环群。
2、证明一个阶数为72的群不是单群。
$$72= 2^3 \times 3^2 $$ ,有$$n_3$$|8,$$n_3$$ ≡ 1 (mod 3),所以$$n_3$$ = 1、4
1)如果 $$n_3$$ = 1 ，由于只有一个西罗p-子群，那么这个群就一定是正规子群（我们之前说过这个性质），所以就直接成立了。
2)如果 $$n_3$$ = 4
设所有西罗-3子群集合S={$$P_1,P_2,P_3,P_4$$}
考虑共轭群作用,对任意$$g \in G,\psi _g = g . S = \{gP_1g^{-1}, gP_2g^{-1},gP_3g^{-1},gP_4g^{-1} \}$$
由于所有的西罗-3子群是互相共轭的，所以这个群作用相当于做了一个置换。
做一个群同态 $$\phi :G \rightarrow S_4$$（映射规则: $$g \rightarrow \psi _g$$），这样的话，由于 G/kerf $$ \simeq $$ Imf ，而且|S$$_4$$| = 4! , |G| = 72 ，那么 Kerf $$\neq$$ {e} ，结合 Kerf ◁ G ，就可以得到 Kerf 就是一个正规子群，但是是一个非平凡的子群，就证明了它不是一个单群。