胡维近世代数1-3：多项式Galois群,根式解条件
一、代数学基本定理
$$f(x)=a(x-c_1)^{n_1}(x-c_2)^{n_2}\cdots(x-c_r)^{n_r}$$
$$c_i$$为复数
二、三次方程根式解
1、$$x^3+ax^2+bx+c=0$$ 用 x-a/3替换x转化方程为：
$$ x^3 +px +q=0$$
https://baike.baidu.com/item/一元三次方程求根公式/10721952?fr=aladdin
预解式
http://www.360doc.com/content/19/0211/07/32937624_814163215.shtml
胡维三次方程求根公式
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxOTIyMzE4Mg==&mid=2247484834&idx=2&sn=24171c55ce456fadc249654731a24d61&chksm=97dfc043a0a849557fb75d346d54617d56bcb88b929e7d7895d037fdd9f3dc2e0bd66efcb504&scene=21#wechat_redirect
三、解方程历史
1、Ruffini就在1799年率先表示一般5次以上的代数方程不(im)可(possi)能(ble)有求根公式
2、年轻的Abel(1802-1829)完整的证明了这个结论
定理 1 (Abel-Ruffini定理)
一般的n ≥ 5次代数方程没有问题2所要求的求根公式.
3、Galois证明
f(x) = 0可以根式解当且仅当Gal(f)有一种特殊的性质。 (详见下)
四、对称性
1、正交变换
欧氏空间是线性空间，又有内积，保持其欧氏空间结构的变换应为保内积的线性变换，即正交变换(orthogonal transformation)。
1、正交变换T作用于一个向量x
转换后的向量长度与转换前的长度相同。
|T(x)| = |x|
2、正交变换T作用于两个向量u、v
转换后内积不变,正交变换不会影响转换前后向量间的夹角和内积长度
<T(u),T(v)> = <u,v>
3、设σ是n维欧氏空间V的一个线性变换，于是下面4个命题等价
(1).σ是正交变换；
(2).σ保持向量长度不变，即对于任意α∈V，丨σ(α)丨=丨α丨；
(3).如果ε$$_1$$,ε$$_2$$,...,ε$$_n$$是标准正交基，那么σ(ε$$_1$$),σ(ε$$_2$$),...,σ(ε$$_n$$)也是标准正交基；
(4).σ在任意一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。
4、正交矩阵意义
如果 T(x) = Ax 为正交变换，则为 A 正交矩阵，对于正交变换之正交矩阵 A ,其每个列互为正交，令 A 为 M$$\times$$N 之矩阵，取两个不相同的列 $$\phi _k$$ 和 $$\phi _h,(k\neq h)$$ 遵守下列关系:
$$<\phi _k,\phi _h>=0$$
5、正交矩阵定义
n级实矩阵A称为正交矩阵，如果A$$^T\times$$A = E 。(A$$^T$$表示A的共轭转置，E是单位矩阵)
6、正交矩阵行列式
若丨A丨= 1，则称σ为第一类正交变换，（对应旋转变换）
若丨A丨= -1，则称σ为第二类正交变换（对应瑕旋转变换--旋转、反射的组合）。
7、正交变换性质
（1）正交变换 T 不会改变向量间的正交性，如果 u 和 v 正交，则 T(u) 和 T(v) 亦为正交。
（2）如果 A 和 B 皆为正交矩阵，则 AB 亦为正交矩阵。
（3）如果 A 为正交矩阵， A 的反矩阵 A$$^{-1}$$ 亦为正交矩阵。
（4）正交变换容易做反运算。
（5）对于正交变换 T ，如果 u 和 v 可以做内积， T(u) 和 T(v) 做内积之值等于 u 和 v 做内积之值。
（6）A的各行是单位向量且两两正交
（7）A的各列是单位向量且两两正交
2、ℝ^2中保持三角形不变的正交变换
ℝ^2中的正交变换恰为旋转和翻折。
逆时针旋转$$\theta$$角度$$\begin{pmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{pmatrix}$$
沿着$$\frac{\theta}{2}$$翻折$$\begin{pmatrix} cos\theta & sin\theta \\ sin\theta & -cos\theta \end{pmatrix}$$
这里我们记ℝ^2上所有正交变换的集合为O(ℝ^2).
记正三角形为Δ 我们先将其中心放置于ℝ^2的原点，一个顶点放置于x轴上。
这样你会发现，我们上面描述的正三角形的6种变化恰为所有ℝ^2上的使得变化前后正三角形区域重合的正交变换的全体。
因此，我们可以这样“优雅”的表示正三角形的对称性:
$$S(\triangle) = \{ \sigma \in O(R^2)| \sigma(\triangle) = \triangle \}$$
当然根据实际情况的不同，其对称性可能会打折扣，比如我们把这个正三角性的中心钉在一个平板上，这样翻折将没有办法实施。
这种情况下，我们就需要缩小允许的变换范围，制定新的游戏规则：只允许旋转变换。
记所有ℝ^2上的旋转变换为SO(ℝ^2)，则在这个新的游戏规则下正三角形的对称性应记为
$$S(\triangle) = \{ \sigma \in SO(R^2)| \sigma(\triangle) = \triangle \}$$
五、根的对称性与Galois群
1，另多项式f(x)的根 $$\triangle = \{x_1,x_2,\cdots,x_r\}$$
2、现在我们要考虑它的对称性，根据上面的经验，我们需要看Δ到底在怎样的一个“空间”里呢？
这里Galois给我们找了个不大不小的空间V
ℂ中将ℚ ∪ Δ中的元素经过有限步加、减、乘、除得到的元素的全体。
空间V 上的结构可以说只有加法和乘法，也就是说考虑Δ的对称性的时候，我们应该考虑V 到自己上的保持加法和乘法的双射。
这就是传说中的Galois群！
3、给两个例子感受下
f(x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
$$g(x) = x^2 + 1 $$
对于f(x)来说，其根的集合
Δ = {1,2,3,4,5}
由于Δ ⊆ ℚ，因此上面取的空间V = ℚ。
从Galois群的定义，可以得知Gal(f)中的元素只有ℚ到自身的恒等映射，即
Gal(f) = {id}
对于$$g(x) = x^2+1$$来说，其根的集合为
Δ = {±i}
通过简单研究可以发现，空间V 为
$$V=\{a+bi|a,b\in Q\}$$
由于Gal(g)中的σ必须把g(x)的根映为g(x)的根，因此i在σ下的像只能是±i。
这样，根据Galois群的定义，很容易发现
Gal(g)={id,σ}有两个映射，一个是V 到身的恒等映射id，另一个是V 到V 的映射σ, 它将a + bi映为a− bi.
六、可解群
一个有限群G是可解群, 如果存在子群序列
$$\{e\} = G_n$$ ⊲ $$G_{n-1} $$ ⊲⋅⋅⋅⊲ $$G_1$$ ⊲ $$G_0 = G $$
使得
$$G_i/G_{i+1}$$是Abel群
对于所有i = 0, ⋅⋅⋅, n − 1成立.
可解群分类：
1、阿贝尔群 可解
2、|G| = $$p^a \times q^b$$, p,q为素数
3、|G|为奇数