胡维近世代数3-9：群与子群
一、群定义
假设G是一个非空集合，G上有一个运算
$$G \times G \rightarrow G$$
$$(x,y)\mapsto x \cdot y$$
我们称(G,⋅)是一个群(group)，如果下面几条性质成立:
1、结合律:
x⋅(y⋅z) = (x⋅y)⋅z, ∀x,y,z ∈ G
2、有单位元: 存在e ∈ G使得
e ⋅ x = x ⋅ e = x, ∀x ∈ G
3、有逆元: ∀x ∈ G，存在y ∈ G使得
x ⋅ y = e = y ⋅ x
很多时候，为了记号简便，我们会省略运算⋅，将群(G,⋅)记为群G
二、群基本性质
单位元e、逆元$$a^{-1}$$ 唯一性
消去律 a⋅x = a⋅y ⇒ x = y ; x⋅a = y⋅a ⇒ x = y
三、子群以及基本性质
子群定义：
假设(G,⋅)是一个群，H ⊆ G是G的非空子集. 如果(H,⋅)也是一个群，我们称H为G的一个子群(subgroup), 记作: H ⩽ G.
平凡子群：对任意群G, G ⩽ G, {e}⩽ G。
子群单位元跟G的单位元e相同，逆元相同。
H1 ⩽ G ,H2 ⩽ G 则 H1 ∩ H2 ⩽ G (并集一般不成立)
四、子群判定
三条法
假设(G,⋅)是一个群，而H ⊆ G是G的非空子集。则H ⩽ G当且仅当下面几条成立:
1、H关于“⋅”封闭，即 h1 ⋅ h2 ∈ H, ∀h1,h2 ∈ H
2、e ∈ H
3、对任意h ∈ H, 其在G中的逆元$$h^{-1}$$ ∈ H.
一条法
假设(G,⋅)是一个群，而H ⊆ G是G的非空子集。则H ⩽ G当且仅当，对于任意a,b ∈ H, 有a ⋅$$ b^{-1}$$∈ H.
五、置换与对称群$$S_n$$
(S4 cayley图)
1、对称群 $$S_n$$ := {{1,⋅⋅⋅,n}到自身所有双射}
2、单位元是恒等映射e,逆元->上下两排互换
3、$$S_n$$中有n!个元素
4、1循环是恒等映射e
5、σ为k循环, 那么$$\sigma ^k $$= e
6、(1345) = (3451) = (4513) = (5134)
7、(1345)$$^{-1} $$ = (5431) = (1543)
8、假设σ, τ为$$S_n$$中两个不相交的循环（无公共元素）. 则στ = τσ.
9、表达为不相交循环乘积 ：
任意$$S_n$$中非单位元都可以表达成两两不相交长度至少为2的循环的乘积, 且这种表达在不计顺序的情况下是唯一的.
10、每个$$S_n$$中的元素都对表达成为对换的乘积（不唯一）：
(ab)(ac) = (acb)
(ab)(bc) = (ba)(bc) = (bca) = (abc)
(ac)(bc) = (ac)(cb) = (acb)
例如：(23⋅⋅⋅k)(1k) = (12⋅⋅⋅k)
(12⋅⋅⋅k) = (k − 1,k)⋅⋅⋅(2k)(1k)
11、奇偶性与$$A_n$$
轮换的奇偶性确定，所有偶置换组成交错群$$A_n$$
https://baike.baidu.com/item/交错群/12638060
12、置换s共轭 $$tst^{-1}$$
s的上下两行元素都进行t置换
13、共轭同型
$$(i_1\cdots i_k)$$为$$S_n$$中k循环, σ ∈ $$S_n$$. 则
$$\sigma(i_1 \cdots i_k)\sigma^{-1} = (\sigma(i_1),\cdots,\sigma(i_k))$$
也是一个k循环.
即：$$S_n$$中，互为共轭的置换具有相同的轮换结构，任意具有相同轮换结构的置换互为共轭元素。
六、二面体群$$D_n$$
1、S(Δ$$_n$$) :={ℝ$$^2$$上正交变换σ∣σ(Δ$$_n$$) = Δ$$_n$$} 称为 二面体群$$D_n$$
2、由于ℝ2的正交变换只有两类
行列式为1, 旋转变换 {e=ρ$$^0$$,ρ,ρ$$^2$$,⋅⋅⋅,ρ$$^{n-1}$$}
行列式为−1, 翻折变换 τ$$_0$$,τ$$_1$$,⋅⋅⋅,τ$$_{n-1}$$
3、二面体中元素的乘积
旋转与旋转的乘积：ρ$$^i$$ρ$$^j$$ = ρ$$^{(i+j)\ mod\ n}$$ = ρ$$^{[i+j]}$$
旋转与翻折的乘积:ρ$$^i$$τ$$_j$$ = ρ$$^i$$(ρ$$^j$$τ$$_0$$) = ρ$$^{[i+j]}$$τ$$_0$$ = τ$$_{[i+j]}$$
翻折与旋转的乘积:τ$$_i$$ρ$$^j$$ = τ$$_{[i-j]}$$
翻折与翻折的乘积:τ$$_i$$τ$$_j$$ = ρ$$^{[i-j]}$$
4、二面体群的子群
{e,ρ,ρ$$^2$$,⋅⋅⋅,ρ$$^{n-1}$$}⩽ $$D_n$$
{e,τ$$_k$$}⩽ $$D_n$$
5、为什么叫二面体群
那为什么Dn叫二面体群呢? 二面体是什么?
实际上, 如果你把正n边形Δn放到ℝ3中. 在三维空间中, 它就可以叫做“二面体”了, 只有上下两个面.
这时, 令
SO(ℝ$$^3$$) = {ℝ$$^3$$的行列式为1的正交变换}
注意到ℝ$$^3$$中行列式为1的正交变换σ一定有一个特殊值为1, 对应的特征向量为α. 则σ(α) = α, 也就是说α在σ下不变, σ是绕α的旋转.
根据这些信息, 仔细琢磨下, 你就会发现
{σ ∈ SO(ℝ$$^3$$)|σ(Δ$$_n$$) = Δ$$_n$$}
恰为我们上面所说的旋转和翻折！也就是说D$$_n$$实际上也是将Δ$$_n$$放入ℝ$$^3$$中(可称“二面体”), 在只允许旋转变换下的Δ$$_n$$的对称群.
七、循环子群
1、假设G是一个群, a ∈ G. 则 {a$$^i$$∣i ∈ ℤ}是G的子群.
由元素a生成的子群, 这样的子群也称为循环子群 (cyclic subgroup), 记为⟨a⟩.
2、G中存在一个元素a使得G = ⟨a⟩, 则称G是一个循环群.
3、循环群中元素乘法交换, 是Abel群
4、o(a) = |⟨a⟩| =最小的正整数m使得a$$^m$$ = e , 称为元素a的阶(order).
5、一个循环群的子群还是循环群
6、 o(a) = o(a$$^{-1}$$)
7、如果o(a) = m, 则a$$^i$$ = e当且仅当m∣i.
8、o(a) = ∞, 显然o(a$$^r$$ ) = ∞
9、假设o(a) = m, n是一个正整数, d = (m, n)为m与n的最大公因数. 则
(1) ⟨a$$^n$$⟩ = ⟨a$$^d$$⟩
(2) o(a$$^n$$) = m/d
举例：如果⟨a⟩是一个6阶循环群, 则它的所有子群为
{e}, ⟨a$$^2$$⟩, ⟨a$$^3$$⟩, ⟨a⟩ 分别有1, 3, 2, 6个元素.
10、若ab = ba且m, n互素, 那么 o(ab) = mn
11、无限循环群 C ∼ {Z,+} 他的任何子群形如 mZ,m>=0
有限循环群$$C_m$$ ∼ {$$Z^+,mod.$$} ∼ Z/mZ = $$Z_m$$ ∼ $$U_m$$ ({x|$$x^m$$=1})
12、两循环群同构 == 两循环群同阶
13、素数阶群必为循环群
14、若|G| = m,则 G为循环群 == 任意n为m的正整数因子，唯一存在n阶子群
若G为一般群，不一定存在，也不一定够唯一。如klein群
15、生成子群的推广（群G 与集合S⊆G,S非空）
(1)当G为循环群 <a>$$=\{a^m|m \in Z \}$$ S={a,$$a^{-1}$$}
<a>可以看成由S中有限个元素之积组成的集合
(2)G为一般群，令$$S^{-1}=\{a^{-1}|a \in S\}$$
有以下三个等价说法：
<S>={$$x_1x_2\cdots x_m|x_i \in S \cup S^{-1},m \in N$$}为G的子群，S为生成元。
<S>=G中包含S的最小子群
<S>=G中包含S的子群的交
（若G中存在有限集合S使得G=<S>，则称G为有限生成群，有限群都是有限生成群，无限群可能是有限生成群，如{Z,+}）
八、拉格朗日定理与陪集
1、拉格朗日定理：假设G是一个有限群, H ⩽ G. 则H的元素个数一定整除G的元素个数.
记G/H := {aH∣a ∊ G}为H在G中的左陪集的全体. 左陪集的个数 [G : H] := |G/H|称为子群H在G中的指数(index).
|G| = [G : H] ⋅|H|
2、假设H ⩽ G, a, b ∊ G. 那么下面几条等价
aH = bH
b ∊ aH
a$$^{-1}$$b ∊ H
aH ∩ bH≠∅
(H的两个陪集要么相等, 要么交集为空集!)
3、假设G是一个有限群, 那么G中元素的阶数|⟨a⟩| = o(a)都整除G的阶数|G|.
4、素数阶的群 |G| = p是个素数
素数阶群都是循环群.除e外，每个元素都是生成元。
5、H的左陪集的个数与右陪集的个数相同！
6、如果在G上定义关系 a ∼ b ⇔ a$$^{-1}$$b ∊ H
可以证明“∼”是G上的一个等价关系, 而 左陪集aH恰为a在关系“∼”下的等价类, 即
aH = {x ∊ G∣a ∼ x ∊ H} = {x ∊ G∣a$$^{-1}$$x ∊ H}
G可以写成这些等价类的并, 且不同的等价类交集为空集.
7.$$C_m \times C_n \simeq C_{nm}$$ 当且仅当m、n互质.
8、阿贝尔群基本定理$$ A \simeq C_1 \times C_2 \cdots \times C_n$$
9、H ⩽ G ,K ⩽ G 且 H ⩽ K(或者等价的 H⊆K)则
[G:H] = [G:k] [K:H]
九、共轭子群
1、假设H是群G的一个子群, a ∊ G. 那么
aHa$$^{-1}$$也是G的子群, 称为H在G中的共轭子群.
2、阿贝尔群、S$$_3$$没有共轭子群
或者说它们的共轭子群就是自己（是正规子群）
十、正规子群
1、假设G是一个群, H是G的子群. 如果G中与H共轭的子群只有H, 即
aHa$$^{-1}$$ = H, ∀a ∊ G
则称H为G的一个正规子群(normal subgroup), 记作:
H ⊲ G
2、任何Abel群的子群都是正规子群,SL(V) 是 GL(V)的正规子群
3、正规子群的判定：
假设H是群G的一个子群, 那么下面几条等价
aHa$$^{-1}$$ = H, ∀a ∊ G (即H ⊲ G)
aHa$$^{-1}$$ ⊆ H, ∀a ∊ G
aH = Ha, ∀a ∊ G
aHbH=abH (其中aHbH 为ah1bh2)
4、假设H是群G的一个子群
如果[G : H] = 2, 则H ⊲ G.
5、S$$_n$$中由所有偶置换组成的子群A$$_n$$是S$$_n$$的正规子群(因为[S$$_n$$ : A$$_n$$] = 2)
6、{e}和G都是G的正规子群 ，如果G只有这两个正规子群，G称为单群。
7、若N ⩽ H ⩽ G且N⊲G, 那么N⊲H
若N ⩽ H ⩽ G且N⊲H, 那么N⊲G不一定成立
8、G的中心(center)
C(G) := {x ∊ G∣ax = xa, ∀a ∊ G}
G的中心也是G的正规子群.
9、假设G是一个群, H是G的子群, N是G的正规子群, 那么
HN和NH 都是G的子群.
10、如果H, N都是G的正规子群, 则HN⊲ G.
11、假设H和N都是群G的正规子群且 H ∩ N = {e} 则
(1). 对任意h ∊ H, n ∊ N有hn = nh
(2). HN中的元素可唯一分解为 hn, h ∊ H, n ∊ N 形式
我们称HN为H与N的直积
12、H和G的外直积
H和G为群, 则它们的笛卡尔乘积
H × G := {(h, g)∣h ∊ H, g ∊ G}
在运算
(h$$_1$$, g$$_1$$)(h$$_2$$, g$$_2$$) := (h$$_1$$h$$_2$$, g$$_1$$g$$_2$$)
下构成群. 称为H和G的外直积.
十一、商群--正规子群的陪集成群
1、正规子群的两个左陪集aN, bN相乘 还是一个左陪集
假设N是G的正规子群, a, b ∊ G, 那么
aN ⋅ bN = abN
2、正规子群N的所有左陪集放在一起
G/N = {aN∣a ∊ G} 称为G关于N的商群(quotient group).
单位元就是N
aN在此乘法下的逆元就是a$$^{-1}$$N.
(只有正规子群才有商群，正规子群必有商群,非正规子群叫商集)
十二、可解群(同上一篇)
一个有限群G是可解群, 如果存在子群序列
{e} = G$$_{n}$$ ⊲ G$$_{n-1}$$ ⊲⋅⋅⋅⊲ G$$_{1}$$⊲ G$$_{0}$$ = G
使得
G$$_{i}$$/G$$_{i+1}$$是Abel群
对于所有i = 0, ⋅⋅⋅, n − 1成立.
可解群分类：
1、阿贝尔群 可解
2、|G| = $$p^a \times q^b$$, p,q为素数
3、|G|为奇数