胡维近世代数10-14:群同态、群作用
一、群同构
1、假设 (G, ⋅)和(H, ∗) 是两个群, 如果有一个双射
ϕ : G→H 与G和H中的运算协调一致, 即
ϕ(a ⋅ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b)
对所有a, b ∊ G成立, 这时我们感觉G和H本质上是差不多的, 称ϕ为群G到H 的一个同构(isomorphism). 当然, 此时我们称G与H同构, 记作 G ≃ H
2、有时候会隐藏得比较深, 不容易看出来. 比如 SLn(ℝ) (行列式为1的n阶实方阵)
是 GLn(ℝ) (n阶可逆实矩阵) 的正规子群, 对应的商群 GLn(ℝ)/SLn(ℝ)与(ℝ∗, ⋅) 是同构的.
3、又比如 K$$_4$$ = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}
是S$$_4$$的正规子群, 你看得出来对应的商群
S$$_4$$/K$$_4$$与S$$_3$$是同构的吗？
二、群同态定义
1、对于群(G, ⋅)和(H, ∗)而言, 如果一个映射
ϕ : G→H 满足
ϕ(a ⋅ b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b)
对所有的a, b ∊ G成立, 则称ϕ为一个群同态(group homomorphism)
记作：$$G \sim H$$
2、与群同构相比, 这里我们不再要求ϕ是双射
3、两种群同态：
（1）嵌入映射 ：单射
（2）除法映射 ：多射
4、ϕ将$$e_G$$映为$$e_H$$.
$$e_H$$ = ϕ($$e_G$$)
5、逆元 ϕ(a$$^{-1}$$) = ϕ(a)$$^{-1}$$
6、假设 ϕ : G→H 是一个群同态, K是G的子群, 则ϕ(K)是H的子群.
特别的, ϕ的像集Im ϕ是H的子群.
7、映射的核--映射到单位元的元素组成的群
Ker ϕ := {a ∊ G∣ϕ(a) = $$e_H$$} 这里Ker ϕ称为ϕ的Kernel.
假设ϕ : G→H是一个群同态, 那么Ker ϕ是G的正规子群.
8、一个群同态 ϕ : G→H 是单射当且仅当
Ker ϕ := {a ∊ G∣ϕ(a) = $$e_H$$} 只包含$$e_G$$一个元素
三、群同态基本定理
1、第一同构定理
ϕ$$^{-1}$$($$e_H$$) = Ker ϕ
也就是上面图中第一列为Ker ϕ, 其他列呢？
第二列是ϕ(a)的所有原像, 就是G中被ϕ映为ϕ(a)的那些元素, 即
{x ∊ G∣ϕ(x) = ϕ(a)}
也就是说第二列恰为 a Ker ϕ
这样, 上面的图就变成了这样(就像左陪集)
2、假设ϕ : G→H为群同态, 那么存在一一对应
ϕ : G/Ker ϕ→Im ϕ
a Ker ϕ ↦ ϕ(a)
是群同构.
（同态的像就是商群）
3、由第一同构定理可以推出：所有n阶循环群都同构于ℤ$$_n$$.
4、由第一同构定理可以推出：GLn(ℝ)/SLn(ℝ) ≃ ℝ∗
5、第二同构定理
假设H是群G的子群, 而N是G的正规子群, 那么
H/(H ∩ N) ≃ HN/N
6、第三同构定理
假设N和K是G的正规子群且
K ⊆ N ⊆ G 则
(G/K)/(N/K) ≃ G/N
四、群的满同态：
默认：G的子群与H的子群之间的关系
1、ϕ : G→H 是一个满射，叫做群的满同态
2、 假设ϕ为 G到H的满同态，
（1）我们有一个一一映射
ϕ$$^{-1}$$ :{H的子群}→ {G的包含Ker ϕ的子群}
（2）上述映射将正规子群对应到正规子群
3、满同态定理二
用一个图来感受下这个定理
4、自然满同态
假设G是一个群, 而N是G的正规子群, 那么
π : G→G/N
a ↦ aN
是一个群的满同态且Ker π = N. 由上面的定理,
商群G/N的子群和G的包含N的子群一一对应.
上面这种满同态称为自然满同态
5、当N和G/N同时具有某种性质的时候, G有可能也具有这种性质
比如: 如果N和G/N的阶数都是一个素数p的方幂, 那么G的阶数也是p的方幂。
6、定理3：假设N是有限群G的正规子群, 如果N和G/N都是可解群, 那么G也是可解群.
7、比如K$$_4$$是S$$_4$$的正规子群, 且对应商群
S$$_4$$/K$$_4$$ ≃ S$$_3$$
K$$_4$$为Abel群, 因此可解, 而
{e}⊲ A$$_3$$ ⊲ S$$_3$$
为S$$_3$$的一个子群序列满足
A$$_3$$, S$$_3$$/A$$_3$$
分别是3阶和2阶群, 必是循环群, 从而是Abel群。因此S$$_3$$可解。
利用定理3可得S$$_4$$可解。
8、f:G1->G2,g:G2->G3,则gf:G1->G3保持同态或同构
五、群作用定义
1、集合的变换群
S(X) := {X到自身的双射}
当X = {1, 2, ⋅⋅⋅, n}时, S(X)就是S$$_n$$.
在1872年，发表了《埃尔朗根纲领》
研究射影变换群、仿射变换群、相似变换群、正交变换群下不变性质和不变量的几何学分别是射影几何学、仿射几何学、抛物几何学、欧氏几何学。正交变换群也称为运动群，欧氏几何学的主要内容就是研究运动群下不变性质和不变量的几何学。近代发展很快、应用越来越广的一门学科——拓扑学，就是研究拓扑变换下不变性质和不变量的几何学。
2、集合的变换群的作用(action)
假设X是一个集合, 其变换群 S(X) (X到X双射的全体)
中的每个元素f(实际上就是一个X到X的双射)都可以“作用”在X上:
f : x ↦ f(x)
例如：X = {1, 2, 3}, S(X) = S$$_3$$
S$$_3$$中元素都可以作用在X上, 比如:
σ = (123)
作用在1上得到2, 作用在2上得到3, 作用在3上得到1.
3、其他群作用在X上
给定一个集合X, 除了S(X)可以作用在X上, 另外一个群G也想“作用”在X怎么办呢？
只有一个办法, 让G中的元素
“化身”为S(X)中元素(双射)
是让每个G中的元素都“扮演”S(X)中的一个角色。换成数学语言, 给一个从G到S(X)的映射
ϕ : G→S(X)
这样G中的元素g就可以“作用”在X上了
g : X→X
x ↦ ϕ(g)(x)
g就像ϕ(g)一样作用在X上.
4、是不是G中元素“随意”化身为S(X)中的元素都是我们喜欢的呢？
Bad Example 比如: 我们将3阶循环群
{e, a, a2}
的元素按下面的方式化身为S3中元素
e ↦ (12)
a ↦ (23)
a$$^2$$ ↦ (13)
看看它们“作用”在{1, 2, 3}上有什么效果。
a(1)= 1 a(a(1))=1
a$$^2$$ (1) = 3
这？用a作用两次和用a2作用效果不一样?
5、群作用定义一
假设X是一个集合, G是一个群, G在X上的一个群作用是一个映射
ϕ : G→S(X) 满足
ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(ab), ∀a, b ∊ G
即: ϕ是一个群！同！态！
6、群作用定义二
群G在一个集合X上的一个群作用就是对每个a ∊ G, x ∊ X给定一个映射
a ⋅ x ∊ X 满足
e ⋅ x = x , ∀x ∊ X
(ab) ⋅ x = a ⋅ (b ⋅ x) , ∀a, b ∊ G, x ∊ X
7、群作用的例子一
G是一个群, X = G, 对每个a ∊ G, x ∊ G, 我们给定
a ⋅ x := ax 可以发现
e ⋅ x = ex = x , ∀x ∊ X
(ab) ⋅ x = abx = a(bx) = a ⋅ (b ⋅ x) ∀a, b ∊ G, x ∊ X
这个群作用称为G在自身上的左乘作用.
8、群作用的例子二
我们换一种方式, 指定
a ⋅ x := axa$$^{-1}$$ 的话, 可以发现
e ⋅ x = exe$$^{-1}$$ = x, ∀x ∊ X
对任意a, b ∊ G, x ∊ X
(ab) ⋅ x = abx(ab)$$^{-1}$$
= abxb$$^{-1}$$a$$^{-1}$$
= a(bxb$$^{-1}$$)a$$^{-1}$$
= a ⋅ (b ⋅ x)
这也是G在自身上的一个群作用, 我们通常称这个群作用为共轭作用。
9、Cayley定理 与 左乘作用
对任意有限群G, 都存在正整数n使得G同构于S$$_n$$的一个子群。
证明：
假设G是一个n阶群, 考虑G在自身上的左乘作用
a ⋅ x := ax, ∀a, x ∊ G
换成群同态的语言
ϕ : G→S(G)
a ↦ (ϕ(a) : x ↦ ax)
是个群同态。那这个群同态的Kernel是什么呢？
Ker ϕ = {a ∊ G∣ϕ(a) = id$$_G$$}
= {a ∊ G∣ax = x, ∀x ∊ G}
= {e}
因此ϕ是单射，我们得到一个很“酷”的结论:
G同构于S(G)的子群Im ϕ 而G有n个元素, 这意味着S(G) ≃ S$$_n$$
10、更多群作用例子
假设G是一个群, 而H是G的子群。考虑
X := {xH∣x ∊ G}
为H的左陪集的全体。对任意a ∊ G, xH ∊ X, 定义
a ⋅ xH := axH
可以验证, 这是一个群作用.
跟前一个例子类似, 如果考虑
X = {xHx$$^{-1}$$∣x ∊ G}
即H的共轭子群组成的集合, 并定义
a ⋅ xHx$$^{-1}$$ := axHx$$^{-1}$$1a$$^{-1}$$
∀a ∊ G, xHx$$^{-1}$$ ∊ X
这也是一个群作用。
六、轨道和稳定子群
1、轨道定义
一般的, 如果群G作用在一个集合X上
G × X→X
(a, x) ↦ a ⋅ x
对于x ∊ X, 其在G的作用下得到的所有X中的元素组成的集合
O$$_x$$ := {a ⋅ x∣a ∊ G}
称为x在G的作用下的轨道(orbit).
2、轨道性质一
假设群G作用在集合X上, x, y ∊ X为X中两个元素. 那么
y ∊ O$$_x$$ ⇔ O$$_x$$ = O$$_y$$
3、轨道性质二
假设群G作用在集合X上, x, y ∊ X为X中两个元素. 那么下面几条等价
O$$_x$$ = O$$_y$$
y ∊ O$$_x$$
O$$_x$$ ∩ O$$_y$$≠∅
4、稳定子群
G$$_x$$ := {g ∊ G∣g ⋅ x = x}
很容易发现G$$_x$$是G的子群(包含e, 对取逆和乘法封闭). 称为x的稳定化子(stablizer).
5、轨道数量定理
群G作用在集合X上, 那么O$$_x$$与G/G$$_x$$之间有一个一一对映
G/G$$_x$$→O$$_x$$
aG$$_x$$ ↦ a ⋅ x
特别的O$$_x$$的元素个数与G$$_x$$在G中的指数(左陪集个数)相同, 即
|O$$_x$$| = [G : G$$_x$$]
6、轨道数量定理推论
如果G是有限群, 则轨道O$$_x$$的元素个数整除G的阶数.
七、特殊的群作用
1、群作用的不动点
如果O$$_x$$中只有x这一个元素, 就意味着G中的元素作用在x上都等于x自己, 即
a ⋅ x = x, ∀x ∊ G
这时, 我们称x为这个群作用的不动点 (fixed point).
2、可迁的群作用
如果O$$_x$$ = X, 也就是说X中全部元素组成一个轨道, 我们就称这个群作用是可迁的(transitive).
3、可迁移群作用例子
S$$_n$$自然的作用在{1, ⋅⋅⋅, n}上。考虑n所在的轨道O$$_n$$. 我们来看下n的稳定化子
{σ ∊ S$$_n$$∣σ(n) = n}
也就是保持n不动的所有置换, 实际上就是S$$_{n-1}$$.由定理4得
|O$$_n$$| = [S$$_n$$ : S$$_{n-1}$$] = n
也就是说O$$_n$$有n个元素, 从而
O$$_n$$ = {1, 2, ⋅⋅⋅, n}
因此这个群作用是可迁的.
八、共轭作用
1、共轭类
有一个特别的群作用值得提出来单独说下, 就是一个群G共轭的作用在自身上
a ⋅ x := ax$$^{-1}$$, ∀a, x ∊ G
此时x所在的轨道记为
C$$_x$$ := {ax$$^{-1}$$∣a ∊ G}
称为x在G中的共轭类(conjugacy class).
2、中心化子
x在这个共轭作用下的稳定化子记为
C$$_G$$(x) := {a ∊ G∣ax$$^{-1}$$ = x} = {a ∊ G∣ax = xa}
称为x的中心化子(centralizer)
3、群的中心
|C$$_x$$| = [G : C$$_G$$(x)]
x是这个共轭作用的不动点当且仅当
C$$_G$$(x) = G
当且仅当x与G中所有元素都交换, 即
x ∊ C(G) = {b ∊ G∣ba = ab, ∀a ∊ G}
这里C(G)是G的中心(center).
4、例子
G = S$$_3$$, x = (12), 则
C$$_G$$(x) = {e, (23)}
因此
|C$$_x$$| = [S$$_3$$ : C$$_G$$(x)] = 3
实际上
C$$_x$$ = {(12), (13), (23)}
确实有3个元素.
5、G的类方程
一般的, 一个有限群G共轭的作用在自身上, 轨道恰为G中的那些共轭类, 从而
G = ∪x∊GC$$_x$$
当x ∊ C(G)时, C$$_x$$ = {x}只有一个元素, 假设
C$$_{x1}$$, ⋅⋅⋅, C$$_{xm}$$
为所有G中元素个数大于1的互不相同的共轭类, 则
这个等式称为G的类方程(class equation).
6、例子
如果H是群G的一个子群
X := {xH$$^{-1}$$∣x ∊ G}
G共轭的作用在X上
a ⋅ xHx$$^{-1}$$ := axH(ax)$$^{-1}$$
则H ∊ X在这个群作用下的稳定化子记为
N$$_G$$(H) := {a ∊ G|aHa$$^{-1}$$ = H}
称为H的正规化子(normalizer)
由于此时H所在的轨道
O$$_H$$ = {aHa$$^{-1}$$∣a ∊ G} = X
根据定理4
|X| = [G : N$$_G$$(H)]
九、素数方幂阶群的作用
1、假设G是一个p的方幂阶群, 作用在一个有限集合X上. 假设X$$_0$$是所有不动点的集合, 则
|X|≡|X$$_0$$| (mod p)
2、假设p是一个素数, 而G是p$$^m$$ > 1阶子群. 则
|C(G)|≡0 (mod p)
特别的, 此时C(G)不是平凡群.
3、假设p为一个素数. 则p的方幂阶群都是可解群.