邓少强近世代数-集合、运算、关系
零、集合
1、集合无法精确定义：罗素理发师悖论
2、集合相等的证明方法：$$A=B \Longleftrightarrow A \subset B,B\subset A $$
一、映射
1、嵌入映射
A0 是 A 的子集，$$i: A_0\mapsto A $$ , 使得 i(x)=x 称I为$$A_0$$到A的嵌入映射。
2、映射的开拓与限制
A0 是 A 的子集，f为A->B映射，g为$$A_0\mapsto B$$的映射，若$$f(x)=g(x), \forall x \in A_0$$,
称f为g的开拓，g为f (在$$A_0$$上的)限制，记为$$g = f|A_0$$
3、交换图
上述1、2、的交换图如下：
二、代数体系
1、代数体系 = 集合（飞空）+ 运算（二元）
2、直积（笛卡尔积）
$$A_1\times A_2 = \{ (a,b)|a \in A_1, b \in A_2 \}$$
3、代数运算的映射本质
$$f:A\times B \mapsto D$$ 例如：
(1)线性空间V，数域P， $$V \times V \mapsto V, P\times V \mapsto V$$
(2)$$P^{n\times n}$$为数域P上的方阵的加法和乘法，$$P^{n\times n}\times P^{n\times n} \mapsto P^{n\times n}$$
4、集合A上二元运算
$$A \times A \mapsto A$$ 称为集合A上的二元运算。
5、集合A上二元运算写法
$$f(d,f(f(a,b),c)) \to d\circ((a\circ b)\circ c) \to d((ab)c) \to dabc$$,最后一步需要符合结合律。
6、集合A上二元运算的运算律(结合律，交换律，分配律)
若满足结合律，$$a\circ a\circ a\circ a \cdots = a^n$$
若满足交换律，$$(ab)^n = a^nb^n$$
三、 关系R（构建新集合的方法）
1、关系$$R \Longleftrightarrow A \times A$$的子集
2、非空集合A中对任意两个元素a,b有或者没有一种性质，叫做关系，记作aRb.
如A为实数集 R可以为 >, =, <...
3、将有关系的元素对构成$$A\times A$$的子集：$$R={(a,b)|aRb}$$
反之亦然，对于$$A\times A$$的子集R,可以定义R使得$$ aRb = (a,b) \in R$$
4、例子：实数范围内a<b,a=b都是关系
四、等价关系
1、例子：=，矩阵相似，行列式相、同号（非零），三角形全等或相似，奇数偶数
2、三个标准：
(1)反身性：aRa
(2)对称性：aRb = bRa
(3)传递性：aRb,bRc -> aRc
3、集合A的划分(是一个集合)
$$A = \bigcup A_i ,A_i$$之间交集为空
如A={1,2,3},A的划分为 {{1},{2,3}}
4、集合A的等价关系 $$ \Longleftrightarrow $$集合A的一个划分（分类）
定义关系 $$R,aRb \Longleftrightarrow \exists i, let\ a,b\in A_i $$
5、例子:等价关系$$\Longleftrightarrow $$集合划分
整数集Z上面一个划分{{1,3,5,...}{2,4,6,...}}
整数集Z上的一个关系R: $$aRb \Longleftrightarrow 2|(a-b)$$
同时，该等价关系是Z*Z集合的一个子集。
(1)试观察图中关系（红点）的反身性、对称性、传递性。
(2)取任意一个x，这列上所有y构成Z的一个子集，并且以这个子集里元素对应y构成的子集是相同的，因此这个集合内元素等价。
6、等价关系R、等价类$$\bar{a}$$、商集合A/R、自然映射$$\pi(a)=\bar{a}$$
等价类$$\bar{a}=\{b\in A |\ aRb\}$$ 或记为[a],即A的一个子集
商集合$$A/R = \{\bar{a} | a \in A\}$$ (重复取一个) ，即“等价类的集合”，即A的划分
A到A/R的自然映射$$\pi:A\mapsto A/R,\ \ \pi(a)=\bar{a}$$ 即“属于$$a\in \bar{a}$$”
五、同余关系
1、非空集合A中有二元运算o，等价关系R，若：
$$a_1Rb_1,a_2Rb_2 \Longrightarrow a_1\circ a_2\ R\ b_1\circ b_2$$
称R为运算o的同余关系。在A/R中定义：
$$\bar{a}\bar{\circ}\bar{b}=\overline{a \circ b} ,\bar{a_1}\bar{\circ}\bar{b_1}=\overline{a_1 \circ b_1} \Longrightarrow \overline{a \circ b}=\overline{a_1 \circ b_1}$$
2、$$\{A,\circ\} \longrightarrow \{ A/R,\bar{\circ}\}$$ 生成新的代数体系
（关系，生成A*A的子集； 等价关系，生成A的一个划分；同余关系，生成新的代数体系）
3、例1：整数集合Z中，m>0定义$$aRb \Longleftrightarrow m|b-a$$
则Z中R为等价关系，称为模m的同余关系。aRb记作a≡b(mod m)
Z中有+，$$\times$$ ，R为 +，$$\times$$的同余关系。（同余关系得名的地方）
验证定义：余1的数+余2的数 = 余1的数+余2的数
4、例2：$$P^{n \times n}$$ (方阵)上定义R，$$ARB \Longleftrightarrow |A|=|B|$$
R为$$P^{n \times n}$$中等价关系，
R对矩阵加法+不构成同余关系，R对矩阵乘法$$\times$$构成同余关系
$$P^{n \times n}/R = ? $$ ,矩阵乘法$$\times \longrightarrow ?$$
验证定义：行列式值为1的矩阵$$\times$$行列式值为2的矩阵 = 行列式值为1的矩阵$$\times$$行列式值为2的矩阵
六、同余关系其他论述
1、同余关系或简称同余是相容于某个代数运算的等价关系。
2、同余关系是代数系统的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类。
3、元型例子是模算术：对于一个正整数n，两个整数a和b被称为同余模n，如果a − b整除于n（还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的余数）。又因为 模算术对加法和乘法都同余，所以模n变成了整数环上的一个等价。
4、线性代数同余关系举例：相似矩阵，矩阵合同
5、泛代数同余关系举例：
代数A上的同余关系是直积A×A的子集，它既是在A上的等价关系又是A×A的子代数。
同态的核总是同余。实际上，所有同余引起自核。
对于给定在A上的同余~，等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态，这个同态的核是~。
在一个代数上的所有同余关系的格是代数格。
6、群上同余关系：
替代谈论在群上同余，人们通常以正规子群的方式谈论它们；
事实上，所有同余都唯一的对应于G的某个正规子群。
类似，环中的核为理想来替代同余关系，在模理论中为子模来替代同余关系。
这个技巧不适用于幺半群，所以同余关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。
发表新评论
仅有 1 条评论
等价关系：相似三角形，实数绝对值相同，非零实数同号