弧微分ds/dx 、曲率k、曲率半径1/k
一、直角坐标弧微分
当dx->0时 $$\frac{\Delta s}{\Delta x}$$称为弧微分
$$ds= \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{1+(f')^2}dx$$
二、参数方程弧微分
$$\begin{cases}x=\phi(t) \\y=\psi(t) \end{cases}$$
$$ds= \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} = \sqrt{(\phi ')^2+(\psi ')^2}dt$$
三、极坐标弧微分
$$\rho = \rho(\theta)$$ 可以化为参数方程
$$\begin{cases}x=\rho(\theta)cos\theta \\y=\rho(\theta)sin\theta \end{cases}$$
$$ds = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} = \sqrt{\rho^2(\theta)+(\rho'(\theta))^2}d\theta$$
四、曲率k
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。
定义曲率k为dx->0， $$k=|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|$$
因为$$\alpha=arctan(y')$$
对x求导得$$\frac{d\alpha}{dx}= \frac{1}{1+(y')^2}\cdot y'' $$
所以曲率$$k=|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}|=|\frac{d \alpha}{dx} / \frac{d s}{dx} | = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{\frac{3}{2}}}$$
五、曲率半径r
与曲线相切的圆叫曲率圆，他的半径叫曲率半径r。
利用上图，可知圆心角da对应弧长ds，由弧度角定义可知da=ds/r,所以r=ds/da.故
$$r=\frac{1}{k}$$
六、更多
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。平坦对不同的几何体有不同的意义。
本文考虑基本的情况，欧几里得空间中的曲线和曲面的曲率。一般意义下的曲率，请参照曲率张量。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。这是关于时空扭曲造成的。结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。
在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。