多元函数极限

一个原则：除了洛必达法则，基本上一元函数能用的求极限的方法几乎都能在多元函数上使用。

一、使用了无穷小替换

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二、二元初等函数在定义域连续，所以极限同样可以直接代入

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三、同样也可以分子分母有理化

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四、同样也可以使用两个重要极限

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五、同样也能够使用夹逼准则

讨论函数
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在（0,0）处的连续性？

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所以由夹逼准则知道
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因此连续

六、！！！无数多方向逼近

一元函数只有x0+,x0−x_0^+,x_0^-两个方向，但多元函数自变量是一个超平面，因此需要考虑很多方向。
例：f(x,y)={xyx2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0) f(x,y) = \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2} ,(x,y)\neq (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases}
讨论limx→0y→0f(x,y)?\lim\limits_{\begin{array}{c} & x \to 0 \\ & y \to 0 \end{array} }f(x,y)?
1、讨论y=x（一三象限平分线方向逼近）
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limx→0y=xf(x,y)=x22x2=12\lim\limits_{\begin{array}{c} & x \to 0 \\ & y = x \end{array} }f(x,y)=\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac{1}{2}
2、讨论y=-x（二四象限平分线方向逼近）
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limx→0y=−xf(x,y)=−x22x2=−12\lim\limits_{\begin{array}{c} & x \to 0 \\ & y = -x \end{array} }f(x,y)=-\dfrac{x^2}{2x^2}=-\dfrac{1}{2}
因为两个极限不同，所以不存在。

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