多元函数微分的几何应用

多元函数微分几何应用主要是切线、法平面。 其中关键在于切向量

零、三维空间内的平面和曲线基础知识

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一、空间曲面的切平面和法线

曲面$$F(x,y,z)=0$$在$$M_0(x_0,y_0,z_0)$$处的：

法向量为$$\vec{n}=(F_x',F_y',F_z')_{M_0}$$
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二、参数方程定义的曲线

$$\begin{cases} x=\phi(t) \\y=\psi(t) \\z=\omega(t) \end{cases}$$

切向量=法平面的法向量=$$(\phi'(t),\psi'(t),\omega'(t))$$

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三、曲面交线定义的曲线 方法一

$$\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\G(x,y,z)=0 \end{cases}$$

原理分别求两个曲面的切平面法向量
$$\vec{n_1}=(F_x',F_y',F_z'),\vec{n_2}=(G_x',G_y',G_z')$$.
曲线（两平面交线）的切向量$$\vec{n}$$垂直于$$\vec{n_1},\vec{n_2}$$,因此$$\vec{n}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}$$
$$\vec{n_1}\times\vec{n_2}$$ 有如下算法一：

$$\vec{n}=det \begin{vmatrix} i&j&k \\F_x'&F_y'&F_z' \\ G_x'&G_y'&G_z'\end{vmatrix}=\cdots$$

或者算法二：
先重排，
$$\begin{matrix} F_x'&F_y'&F_z'&F_x'&F_y'&F_z' \\ G_x'&G_y'&G_z'&G_x'&G_y'&G_z'\end{matrix}$$

再取中间3组2*2行列式即可：

$$\vec{n}=( \begin{vmatrix} F_y'&F_z' \\ G_y'&G_z'\end{vmatrix}, \begin{vmatrix} F_z'&F_x' \\ G_z'&G_x'\end{vmatrix},\begin{vmatrix} F_x'&F_y' \\ G_x'&G_y'\end{vmatrix})$$

四、三的例题

曲线$$L=\begin{cases} x-y+z-3=0\\ x^2+2y^2+3z^2=6 \end{cases}$$，求在M0(1,-1,1)处切线和法平面？

$$\vec{n_1}=(1,-1,1),\vec{n_2}=(2x,4y,6z)$$

$$\begin{matrix} 1&-1&1&1&-1&1 \\ 2x&4y&6z&2x&4y&6z \end{matrix}$$

可得切向量为$$(-4y-6z,2x-6z,2x+4y)_{M_0}=-2(1,2,1)$$

所以切线 $$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{1}$$

法平面 $$1\times (x-1) +2\times(y+1)+1\times(z-1)=0$$

五、曲面交线定义的曲线 方法二

$$\begin{cases} F(x,y,z)=0 \\G(x,y,z)=0 \end{cases}$$

可以看成$$\begin{cases} x=x\\ y=\phi(x) \\ z=\psi(x) \end{cases}$$的参数方程，y、z为隐函数。

因此切向量为$$(1,\phi'(x),\psi'(x))$$，而 $$\phi'(x),\psi'(x)$$需要通过解方程得到。

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六、练习

8.6多元函数微分几何应用.ppt

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