向量的数量积与向量积
一、数量积概念
1、数量积概念以及几何意义
2、向量间投影
3、向量积坐标表示
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$$
可以利用 $$(\vec{a}\cdot\vec{b})^2=(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|cos\theta)^2\leq(|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|)^2$$ 证明柯西不等式。
https://baike.baidu.com/item/柯西不等式/212423?fr=aladdin
4、向量间夹角
$$cos<\vec{a},\vec{b}>= \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$$
$$\qquad\qquad=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$$
二、数量积一些结论
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$$
$$\vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=|\vec{a}|^2$$
$$\vec{a}\cdot\vec{a}=0 \Leftrightarrow \vec{a}=\vec{0}$$
$$\vec{a}\cdot\vec{b}=0 \Leftrightarrow \vec{a}\bot\vec{b}$$
三、三维向量积
1、向量积概念
2、向量积几何意义
大小为 a、b向量所围成平行四边形面积。方向为垂直与a、b向量平面，并符合右手定则。
常用来计算法向量等。
3、一些结论
$$\vec{a}\times\vec{b}$$
$$\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}|\times|\vec{b}|sin\theta$$
$$\vec{a}\times\vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a}//\vec{b}$$
$$\vec{a}\times\vec{b}\bot \vec{a}$$ ,$$\vec{a}\times\vec{b}\bot \vec{b}$$
$$\vec{a}\times\vec{b}=-\vec{b}\times\vec{a}$$
a×（b+c）=a×b+a×c。
$$\vec{i}\times\vec{i}=\vec{0},\qquad\vec{j}\times\vec{j}=\vec{0},\qquad\vec{k}\times\vec{k}=\vec{0}$$
$$\vec{i}\times\vec{j}=\vec{k},\qquad\vec{k}\times\vec{i}=\vec{j},\qquad\vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}$$
$$\vec{j}\times\vec{i}=-\vec{k},\qquad\vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j},\qquad\vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i}$$
不满足结合律，满足雅可比恒等式，是一个李代数。
a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
4、拉格朗日公式
（a×b）×c=b（a·c）-a（b·c）
a×（b×c）=b（a·c）-c（a·b） 可以简单地记成“BAC-CAB”
双重外积公式：(a×b)×c = b(a·c) -a(b·c).
拉格朗日恒等式：(a×b)·(c×d) = (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).
证拉格朗日恒等式：
(a×b)·(c×d) = (c,d, a×b) （根据混合积定义：(a,b, c) = (a×b)·c）
= (a×b,c, d) (根据混合积性质: (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b))
= ((a×b)×c)·d
= (b(a·c) -a(b·c))·d
= (a·c)(b·d) - (a·d)(b·c).
5、代数计算
$$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x_a&y_a&z_a \\x_b&y_b&z_b \end{vmatrix}$$
$$\qquad=(\begin{vmatrix}y_a&z_a\\y_b&z_b\end{vmatrix},\begin{vmatrix}z_a&x_a\\z_b&x_b\end{vmatrix},\begin{vmatrix}x_a&y_a\\x_b&y_b\end{vmatrix})$$
记忆方法：
x1,y1,z1,x1,y1,z1
x2,y2,z2,x2,y2,z2 去掉首尾列，2*2矩阵就是
四、二维向量向量积，以及契积
1、二维向量积是一个标量
m=(a,b) n=(c,d)
$$\vec{m}\times \vec{n}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$$
2、意义m、n围成的平行四边形面积
3、三角形ABC面积
法一 $$S\triangle ABC=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_b-x_a&y_b-y_a \\x_c-x_a&y_c-y_a \end{vmatrix}$$
法二 $$S\triangle ABC=\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_a&y_a&1 \\x_b&y_b&1 \\x_c&y_c&1 \end{vmatrix}$$
4、多维向量积，就是楔积
楔积(Wedge Procut) 与 外代数。
五、混合积
1、概念
[abc]=(axb)c
2、性质
轮换性 [abc]=[bca]=[cab]
对换变号 [abc]=-[bac]
3、几何意义
abc向量围成的平行六面体体积
abc共面 充要条件 [abc]=0
ABCD四面体体积=[AB,AC,AD]/6
4、坐标计算
$$[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=\begin{vmatrix} x_a&y_a&z_a \\x_b&y_b&z_b \\x_c&y_c&z_c \end{vmatrix}$$
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