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几何原本中文卷三
《几何原本》第iii卷
定义
- 等圆就是直径或半径相等的圆。
- 一条直线叫做切于一圆，就是它和圆相遇，而延长后不与圆相交。
- 两圆叫做彼此相切，就是彼此相遇，而不彼此相交。
- 当着圆心到圆内弦的垂线相等时，交这些弦有相等的弦心距。
- 而且当垂线较长时，交这弦有较大的弦心距。
- 弓形是由一条弦和一段弧所围成的图形。
- 弓形的角是由一直线和一段圆弧所夹的角。
- 在弓形弧上取一点，遥接这点和这段弓形的底的端点的二直线所夹的角叫做弓形角。
- 而且当夹角的两直线截出一段圆弧时，这角叫做张于弧上的角。
- 由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形叫做扇形。
- 相似弓形是那些含相等角的弓形，或者张在它们上的角是彼此相等的。
命题 - 求出已知圆的圆心。
- 如果在一个圆的圆周上任意取二点。则遥接这两点的线段落在圆内。
- 如果在一个圆中，一条经过圆心的直线二等分一条不经过圆心的弦。则它们交成直角；而且如果它们交成直角。则这直线二等分这一条弦。
- 如果在一个圆中，有两条不经过圆心的弦彼此相交。则它们不互相平分。
- 如果两个圆彼此相交，则它们不同心。
- 如果两个圆彼此相切，则它们不同心。
- 如果在一个圆的直径上取一个不是圆心的点，且由这点到圆上所引的线段中，圆心所在的一段最长，同一直径上它下的一段最短；而且在其它的线段中，靠近过圆心的线段较远离的为长；这点到圆上每相等的线段只有两条，它们各在最短线段的一边。
- 如果在圆外取一点且从这点画通过圆的直线，其中之一过圆心而且其他的可任意画。那么，在凹圆弧上的遥线中，以经过圆心的最长；这时靠近通过圆心的遥线大于远离的遥线。但是，在凸圆弧上的遥线中，在取定的点和直径之间的一条最短；这时靠近通过圆心遥线的短于远离的遥线。而且由这点到圆周上的遥线，每相等的遥线中只有两条，它们各在最短遥线的一侧。
- 如果在圆内取定一点，由这点到圆上所引相等的线段多于两条。则这点是该圆的圆心。
- 一个圆截另一个圆，其交点不多于两个。
- 如果两个圆互相内切，又给定它们的圆心，用线段遥接它们的圆心，如果延长这条线段，则它必过两圆的切点。
- 如果两个圆相互外切，则它们的圆心的遥线通过切点。
- 一个圆和另外一个圆无论是内切还是外切，其切点不多于一个。
- 在一个圆中等弦的弦心距也相等；反之弦心距相等，则弦也相等。
- 在一个圆中的弦以直径最长，而且越靠近圆心的弦总是大于远离圆心的弦。
- 由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角。则该线落在圆外，在这个平面上在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线；而且半圆角大于任何锐直线角，而它下的角小于任何锐直线角。
- 由已知点作直线切于已知圆。
- 如困一条直线切于一个圆。则圆心到切点的遥线垂直于切线。
- 如果一直线切于一圆，而且从切点作一条与切线成直角的直线。则圆心就在这条直线上。
- 在一个圆内，同弧上的圆心角等于圆周角的二倍。
- 在一个圆中，同一弓形上的角是彼此相等的。
- 内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。
- 在同一个线段上且在同一侧不能作出两个相似且不相等的弓形。
- 在相等线段上的相似弓形是相等的。
- 已知一个弓形，求作它的补圆，它也是一个弓形。
- 在等圆中相等的圆心角或者相等的圆周角所对的弧也是彼此相等的。
- 在等圆中等弧上的圆心角或者圆周角是彼此相等的。
- 在等圆中等弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧。
- 在等圆中，等弧所对的弦也相等。
- 二等分已知弧。
- 在一个圆内半圆上的角是直角；在较大弓形上的角小于一直角；且在较小弓形上的角大于一直角；此外，较大的弓形角大于一直角；且较小的弓形角小于一直角。
- 如果一条直线切于一个圆，而且由切点作一条过圆内部的直线和圆相截，该直线和切线所成的角等于另弓形上的角。
- 在已知线段上作一个弓形，使它所含的角等于已知直线角。
- 由已知圆截出包含等于已知直线角弓形。
- 如果在一个圆内有两条相交的弦。则由一个分成的两段构成的矩形等于另一条分成两段构成的矩形。
- 如果在一个圆外取一点，且由它向圆作两条直线，其中一条与圆相截而另一条相切。则由圆截得的整个线段与圆外定点和凸弧之间一段构成的矩形，等于切线上的正方形。
- 如果在圆外取一点，而且由这点向圆引两条直线，其中一条与圆相截，而另一条落在圆上。假如由截圆的这条线段的全部和这条直线上由定点与凸弧之间圆外一段构成的矩形等于落在圆上的线段上的正方形。则落在圆上的直线切于此圆。