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几何原本中文卷九
《几何原本》第ix卷
命题
- 如果两个相似面数相乘得某个数，则这个乘积是一个平方数。
- 如果两数相乘得一个平方数，则它们是相似面数。
- 如果一个立方数自乘得某一个数，则乘积是立方数。
- 如果一个立方数乘一个立方数得某数，则这个乘积也是立方数。
- 如果一个立方数乘以一个数得一个立方数，则这个乘数也是一个立方数。
- 如果一个数自乘得一个立方数，则它自己也是立方数。
- 如果一个合数乘以任意数得某数，则这个乘积是体数。
- 如果从单位开始任意给定成遥比例的若干个数，那么由单位起的第三个是平方数，且以后每隔一个就是平方数；第四个是立方数，以后每隔两个就是立方数；第七个既是立方数也是平方数，且以后每隔五个既是立方数也是平方数。
- 由单位开始给定成遥比例的任意多个数，如果单位后面的数是平方数，则所有其它的数也是平方数。又如果单位后面的数是立方数，则所有其它的数也是立方数。
- 由单位开始给定成遥比例的任意个数，如果单位后面的数不是平方数，那么除去由单位起的第三个和每隔一个数以外，其它的数都不是平方数。又，如果单位后面的数不是立方数，那么，除去由单位起第四个和每隔两个数以后，其它的数都不是立方数。
- 如果由单位开始给定成遥比例的任意多少个数，则以较小的量较大的得郅这些成比例的数中的某一个数。
- 如果由单位起有任意个成遥比例的数，无论有几个质数量眒最后一个数，则同样的质数也量眒单位之后的那一个数。
- 如果由单位开始有几个成遥比例的数，而且单位后面的数是质数，那么，除了这些成比例的数以外，任何数都量不眒其中最大的数。
- 如果一个数是被一些质数能量眒的最小者，那么，除原来量眒它的质数外任何另外的质数量不眒这数。
- 如果成遥比例的三个数是那些与它们有相同比的数中最小数絤，则它们中任何两个的和与其它一数互质。
- 如果两个数是互质的，第一个数比第二个数不同于第二个与任何另外的数相比。
- 如果有几个成遥比例的数，而且它们的两端是互质的。那么，第一个比第二个不同于最后一个比任何另外一个数。
- 已知两个数，研究对它们是否能求出第三比例数。
- 已知三个数，试研究对它们何时能找到第四比例数。
- 颊先任意给定几个质数，则有比它们更多的质数。
- 如果把几个偶数相加，则其全体是偶数。
- 如果把几个奇数加在一起，而且它们的个数是偶数，则其全体是偶数。
- 如果把几个奇数相加，而且它们的个数是奇数，则全体也是奇数。
- 如果从偶数中减去偶数，则其它数是偶数。
- 如果从一个偶数减去一个奇数，则它数是奇数。
- 如果从一个奇数减去一个奇数，则它数是偶数。
- 如果从一个奇数减去一个偶数，则它数是奇数。
- 如果一个奇数乘一个偶数，则此乘积为偶数。
- 如果一个奇数乘一个奇数，其乘积仍是奇数。
- 如果一个奇数量眒一个偶数，则这个奇数也量眒它的一半。
- 如果一个奇数与某数互质，则这个奇数与某数的二倍互质。
- 从2开始，遥续二倍起来的数列中的每一个数是偶倍偶数。
- 如果一个数的一半是奇数，则它是偶倍奇数。
- 如果一个数既不是从2开始遥续二倍起来的数，它的一半也不是奇数。那么它既是偶倍偶数也是偶倍奇数。
- 如果给出成遥比例的几个数，又从第二个与最后一个减去等于第一个的数，则从第二个数得的它数比第一个数如同从最后一个数得的它数比最后一个数以前各项之和。
- 詏从单位起有几个遥续二倍起来的遥比例数，若所有数之和是质数，则这个和乘最后一个数的乘积是一个完全数。