一、函数迭代含义，常见迭代

1、$$f^{(n)}(x)=f(f(f(\cdots f(x))))$$称为f(x)的n次迭代，n为迭代指数。
若f(x)有反函数，记为$$f^{(-n)}(x),f^{(0)}(x)=x,f^{(1)}(x)=f(x)$$,所以n可以是所有整数。

2、常见函数的迭代
$$f(x)=x+c,f^{(n)}(x)=x+nc$$
$$f(x)=x^2,f^{(n)}(x)=x^{2^n}$$
$$f(x)=ax+b,f^{(n)}(x)=a^nx+\dfrac{1-a^n}{1-a}b$$

3、例题
迭代.PNG

二、不动点法

1、称f(x)=x的根x0为f(x)的不动点，（x0,x0）为图像y=f(x)的不动点。
例如，对$$f(x)=ax+b ,ax+b=x,$$解得$$f(x)$$不动点为$$x=\dfrac{b}{1-a}$$.
$$f^{(n)}(x)=a^n(x-\dfrac{b}{1-a})+\dfrac{b}{1-a}$$

2、例题
迭代2.PNG

3、和递推数列求不动点、矩阵特征值分解异曲同工

三、相似法（共轭法，桥函数）

1、$$\exists l(x),f(x)=l^{-1}(g(l(x))) $$，称f(x)通过l(x)与g(x)相似，l(x)称为桥函数。
$$f^{(n)}(x)=l^{-1}(g^{(n)}(l(x)))$$

2、相似关系是一种等价关系：可以验证满足自反，对称，传递。

3、比较容易看出的方法是利用 $$fl=lg$$
例如类三角函数$$ f(x)= 2x^2-1 $$
解法：$$f(cosx) = 2cos^2x-1=cos2x$$ 所以$$l(x)=cosx,g(x)=2x,f(x)=arccos(2cosx)$$
同理$$f(x)=\dfrac{1}{2}(x-\dfrac{1}{x}),l(x)=cot(x)$$
同理$$f(x)=\dfrac{2x}{1-x^2},l(x)=tan(x)$$
同理$$f(x)=-4x^3+3x,l(x)=sin(3x)$$
同理$$f(x)=4x^3-3x,l(x)=cos(3x)$$
$$f(x)=x+2\sqrt{x}+1,l(x)=\sqrt{x},g(x)=x+1$$

4、不动点与共轭函数
$$x_0\ is\ a\ fix\ point\ of\ f(x),f(x_0)=0. $$
$$(1).f^{(n)}(x_0)=x_0 $$
$$ (2).f(x)=\varphi^{-1}(g(\varphi(x))) ,then\ \varphi(f(x))=g(\varphi(x)), $$
$$ then\ \varphi(x_0)=g(\varphi(x_0)), then\ \varphi(x_0)\ is\ a\ fix\ point\ of\ g(x) $$
简单例子：
$$f(x)=\sqrt{19x^2+93}$$
$$ fix\ point\ x^2=-\dfrac{31}{6} $$
$$ f(x)=\sqrt{19(x^2+\dfrac{31}{6})-\dfrac{31}{6})}$$
$$f^{(2)}(x)=\sqrt{19^2(x^2+\dfrac{31}{6})-\dfrac{31}{6})} $$
...
再用数学归纳法

5、例题
迭代3.PNG
这个迭代结果就是切比雪夫多项式。
迭代4.PNG
迭代5.PNG

6、利用不动点求桥函数
不动点求桥函数.PNG

7、与相似矩阵有异曲同工之妙

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函数迭代-不动点、相似法

一、函数迭代含义，常见迭代

二、不动点法

三、相似法（共轭法，桥函数）

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