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不动点原理
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特征根原理
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零、转化为等差等比数列
1、$$ a_1=1,a_n=\sqrt{a_{n-1}^2+1} ,find\ a_n $$
2、$$ a_1=2,a_{n-1}-a_n=2a_na_{n-1},find\ a_n $$
3、$$ a_1=2,a_{n-1}^2=a_n^3,find\ a_n $$
4、$$ a_1=0,a_{n+1}=\dfrac{1}{2-a_n},find\ a_n $$
5、$$ a_1=3,a_{n+1}=2a_n-2n+2,find\ a_n $$
一、$$a_{n+1}=a_n+f(n)$$ 累加法
1、$$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{n^2+n}$$
累加、裂项 $$a_n=3/2-1/n$$
二、$$a_{n+1}=f(n)a_n$$ 累乘法
1、$$a_1=\dfrac{2}{3},a_{n+1}=\dfrac{n}{n+1}a_n$$
2、$$a_1=1,a_n=a_1+2a_2+3a_3+\cdots+(n-1)a_{n-1}$$
三、$$a_{n+1}=pa_n+q,\ to\ a_{n+1}-t=p(a_n-t)$$
1、$$a_1=1,a_{n+1}=2a_n+3$$
（也可同时除以2^{n+1}）
四、$$ a_{n+1}=pa_n+q^n\to \dfrac{a_{n+1}}{q^{n+1}}=\dfrac{p}{q}\cdot \dfrac{a_n}{q^n}+\dfrac{1}{q}$$
1、$$a_1=\dfrac{5}{6},a_{n+1}=\dfrac{1}{3}a_n+(\dfrac{1}{2})^{n+1}$$
（也可按照上式做:除以p^{n+1}）
五、$$ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_{n}$$
$$\to 1.a_{n+2}-sa_{n+1}=t(a_{n+}-sa_n) $$
$$\to 2.x^2-px-q=0,$$
$$\to a_n=Ax_1^{n-1}+Bx_2^{n-1} or (A+Bn)x_1^{n-1} ,(when\ x_1=x_2) $$
1、$$ 3a_{n+2}-5a_{n+1}+2a_n=0 ,a_1=a,a_2=b $$
六、$$ S_n=f(a_n) \to a_n=\left\{\begin{matrix} S_1 & ,n=1 \\ S_n-S_{n-1} &,n>1\end{matrix}\right. $$
1、$$ S_n=4-a_n-\dfrac{1}{2^{n-2}} $$
七、$$ a_{n+1}=pa_n+an+b \to a_{n+1}+x(n+1)+y=p(a_n+xn+y) $$
1、$$ a_1=4,a_n=3a_{n-1}+2n-1 $$
八、$$ a_{n+1}=pa_n^r \to lna_{n+1}=lnp+rlna_n $$
1、$$ a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{1}{a}\cdot a_n^2 $$
2,$$ a_{n+1}=a_n^2+2a_n \to a_{n+1}+1=(a_n+1)^2 $$
九、$$ a_{n+1}=\dfrac{f(n)a_n}{g(n)a_n+h(n)} $$两边倒数
1、$$ a_1=1,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{3a_n+1} $$
2,$$ a_1=\dfrac{3}{2},a_{n+1}=\dfrac{3na_n}{2a_n+n-1} $$
（$$b_n=\dfrac{n-1}{a_n}$$）
十、$$ a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+h}\to x=\dfrac{px+q}{rx+h},\left\{\begin{matrix}\{\dfrac{1}{a_n-x_0}\} arithmetic\ sequence & ,x_0=x_1=x_2\\\{\dfrac{a_n-x_1}{a_n-x_2} \}geometric \ sequence &,x_1\ne x_2\end{matrix}\right. $$
1、$$ a_1=3,a_{n+1}=\dfrac{a_n+4}{2a_n+3} $$
十一、$$ a_{n+1}+a_n=pn+q\ or\ a_{n+1}\cdot a_n=pq^n $$
$$\to \{a_{2n-1}\},\{a_{2n}\}\ is\ simple $$
1、$$ a_1=1,a_{n+1}=6n-a_n $$
2、$$ a_1=1,a_na_{n+1}=3^n $$
十二、猜想，数学归纳法
1、$$ S_n-1 $$是方程$$x^2-a_nx-a_n=0$$的一个根
十三、双数列型(灵活运用累加、累乘、化归)
1、$$ a_1=1,b_1=0,a_n=\dfrac{1}{3}(2a_{n-1}+b_{n-1}),b_n=\dfrac{1}{3}(a_{n-1}+2b_{n-1}) $$
十四、周期型（推出前几项找规律）
1、$$a_1=\dfrac{6}{7},a_{n+1}=\left\{\begin{matrix}2a_n,(0\le a_n\le \dfrac{1}{2}) \\2a_n-1,(\dfrac{1}{2}\le a_n <1 )\end{matrix}\right. $$
2、$$a_1=0,a_{n+1}=\dfrac{a_n-\sqrt[]{3} }{\sqrt[]{3}a_n+1 } $$
十五、 具体数学中的方法$$a_nT_n=b_nT_{n-1}+c_n$$
左右同时乘以 $$s_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_1}{b_nb_{n-1}\cdots b_2}$$后用累加法
1、$$T_0=0,T_n=2T_{n-1}+n$$
2、$$C_0=C_1=0,C_n=n+1+\dfrac{2}{n}\sum_{k=0}^{n-1}C_k ,(n>1)$$
数列全部题型归纳(非常全面-经典!).doc
最全的递推数列求通项公式方法.doc
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