【知乎】浅谈“不动点”求数列通项的方法
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$$good\ example:a_{n+1}=2a_n+3$$
$$bad\ example:a_{n+1}=2a_n-2n+2$$
$$f(x_0)=x_0$$解得$$x_0$$就是不动点.
1、若对某个$$a_n=x_0$$,则以后的$$a_{n+1},a_{n+2},\cdots$$都是$$x_0$$；
2、若对某个$$a_n \ne x_0$$,则等式两边都减去$$x_0$$，也有奇妙特征。
!!!相当于把数列平移到不动点，得到新数列$$b_n=a_n-x_0,b_{n+1}=b_n=0,\Longrightarrow a_{n+1}-x_0=someting \times (a_n-x_0)$$
3、如果只有一个不动点，显然用两边倒数做。$$b_{n+1}=\dfrac{b_n}{somethong}$$
如果不动点大于等于两个，取一个不动点用倒数做也行，但是步骤太多，所以任取两个不动点，两式相除来做比较方便。
$$ a_{n+1}=pa_n+q \Longrightarrow a_{n+1}-x_0=p(a_n-x_0) $$
$$ x_{n+1}=\dfrac{ax_n+b}{cx_n+d} \Longrightarrow x_{n+1}-x_0=something\times(x_n-x_0) $$
如果一个根，倒数后成等差数列
如果两个根，两个根分别代入，两式相除，成等比数列
如果两个虚根，类似做法，不过是虚数。或写成三角式。但是最简洁的方式是用周期形式试探。
（这三条可以成为所有不动点法的通法）
只取其中两个不动点，作商即可
$$ a_{n+1}=2a_n+3 $$ 待定系数法
$$ a_{n+1}^2=a_n^3 $$ 取对数
$$ a_{n+1}=2a_na_{n+1}+a_n $$ 同除$$a_na_{n+1}$$
$$ a_{n+1}=\dfrac{1}{a}\cdot a_n^2 $$ 取对数
$$ a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+1} $$ 两边平方
$$ a_{n+1}=a_n^2+2a_n $$ 两边加一 平方和公式
$$ a_{n+1}=\dfrac{a_n+4}{2a_n+3} $$ 两实根
$$ a_{n+1}=\dfrac{5a_n-1}{a_n+3} $$ 重根
$$ a_{n+1}=\dfrac{1+a_n}{1-a_n} $$ 无实根
$$ a_{n+1}=\dfrac{1}{2}(a_n-\dfrac{1}{a_n}) $$ 无实根