高阶线性齐次微分方程：
https://www.cnblogs.com/cqzhao/p/7463345.html
斐波那契递推矩阵
https://wenku.baidu.com/view/efe4254eb6360b4c2e3f5727a5e9856a56122632.html
$$ a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n $$
$$a_{n+2}-xa_{n+1}=y(a_{n+1}-xa_n)$$
$$x^2-px-q=0$$ 解得$$x_1,x_2$$
1、两不同实数根 $$ a_n=Ax_1^n+Bx_2^n$$
2、两相同实数根 $$ a_n=(A+Bn)x_0^n$$
3、两共轭复数根 $$ a_n=|x_0|^n(Acos(n\alpha)+Bsin(n\alpha))$$
（其中$$|x_0|$$复数根的模，$$\alpha$$复数根的辐角）
再用a_1,a_2代入求的A，B
(右边n都可以用n-1代替，似乎n-1待定系数时更简单)
1、$$a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n+r $$
用n-1代替n后，两式相减
化为$$a_{n+2}-a_{n+1}=p(a_{n+1}-a_{n})+q(a_n-a_{n-1})$$
2、$$ a_{n+3}=pa_{n+1}+qa_n$$
凑配$$ a_{n+3}-a_{n+2}=x(a_{n+2}-a_{n+1})+y(a_{n+1}-a_{n}) $$
1、模型转化
$$\begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix} $$
2、矩阵对角化
$$\begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix} x_1^n & 0 \\ 0 & x_2^n\end{pmatrix}P^{-1} \begin{pmatrix} a_{2}\\a_{1}\end{pmatrix} $$
3、由下面一行得数列通项通解：为特征根指数的线性组合
$$a_{n+1}=Ax_1^n+Bx_2^n$$
再代入a1,a2得到特解
1、模型转化
$$\begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p & q \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix} $$
2、矩阵对角化不能
$$\begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix} x_1^n & 0 \\ 0 & x_2^n\end{pmatrix}P^{-1} \begin{pmatrix} a_{2}\\a_{1}\end{pmatrix} $$
P不存在，或者假设存在也由于可交换与P逆抵消
3、引入若尔当矩阵
$$\begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = P^{-1} \begin{pmatrix} x_0 & 1 \\ 0 & x_0 \end{pmatrix} P\begin{pmatrix} a_{n+1}\\a_{n}\end{pmatrix} $$
注：
P矩阵求法待定系数法 AP=PJ （A为原矩阵，J为若尔当矩阵，P为转换矩阵$$(\alpha_1,\alpha_2)$$）
$$A(\alpha_1,\alpha_2)=(\alpha_1,\alpha_2)\begin{pmatrix} x_0 & 1\\ 0 & x_0\end{pmatrix} $$
$$ A(\alpha_1,\alpha_2)=(x_0\alpha_1,\alpha_1+x_0\alpha_2) $$
再令$$\alpha_1=\begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}$$代入解得$$\alpha_1$$，同理解得$$\alpha_2$$
（本例求P不重要，不用求）
4、二阶若尔当矩阵的n次幂
易得
$$ \begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = P^{-1} \begin{pmatrix} x_0^n & nx_0^{n-1} \\ 0 & x_0^n \end{pmatrix} P\begin{pmatrix} a_{2}\\a_{1}\end{pmatrix} $$
因为$$x_0$$为常数，所以$$Cx_0^{n-1}=C'x_0^n$$
所以由下面一行得数列通项通解：
$$ a_n=(A+Bn)x_0^n $$
1、开始步骤同两实根解法
$$\begin{pmatrix} a_{n+2}\\a_{n+1}\end{pmatrix} = P\begin{pmatrix} x_1^n & 0 \\ 0 & x_2^n\end{pmatrix}P^{-1} \begin{pmatrix} a_{2}\\a_{1}\end{pmatrix} $$
因为两根为共轭复数：
$$let\ x_1=a(cos\beta+i\cdot sin\beta),x_2=a(cos\beta -i\cdot sin\beta):$$
$$a_{n+1}=Ax_1^n+Bx_2^n=Aa^n(cosn\beta+i\cdot sinn\beta)+Bb^n(cosn\beta-i\cdot sinn\beta)$$
令A=B=原来A的一半，得 $$ a_{n+1}=Aa^ncosn\beta$$
令A=-B=原来A的一半*i，得 $$ a_{n+1}'=Ba^nsinn\beta$$
上两式线性不相关，所以：$$ a_{n+1}=a^n(Acosn\beta+Bsinn\beta) $$