答案：群中心 群共轭 习题提示
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群中心习题提示
-1.
-2.(2)子群关键步骤 $$ ma=am \Rightarrow mam^{-1}=a \therefore am^{-1}=m^{-1}a $$
-3.(2)子群关键步骤 同上
-5. 左包含右：右包含左
-7.C(G)=$$\{\begin{pmatrix} a & 0\\0 &a\end{pmatrix},a\in \mathbb{Z},a=\pm 1\}$$利用下面两个的交集并验证来做
CG(H)=$$\{\begin{pmatrix} a & b\\0 &a\end{pmatrix},a=\pm1,b\in \mathbb{Z}\}$$
CG(g)=$$ \{\begin{pmatrix} 1 & 0\\0 &1\end{pmatrix} $$ , $$\begin{pmatrix} -1 & 0\\0 &-1\end{pmatrix} $$ , $$\begin{pmatrix} 1 & 2\\0 &-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1 & -2\\0 &1\end{pmatrix}\} $$
元素共轭习题提示
-4.法一a为 $$\begin{pmatrix} a& b& c\\ d &e &f\end{pmatrix}$$ 利用$$gfg^{-1}$$ ,先算g逆，再f，再g对(1 2 3)进行变换
法二 a为 $$\begin{pmatrix} a& b& c\\ d &e &f\end{pmatrix}$$ 用g对a的上下两行进行变换。与法一等价
法三 a为（13）（4）（25）类似的循环结构，直接用g对每个a元素变换一次。与法二等价（相当于前后都变换g）
-5.思路|a| 整除|b|,|b|整除|a|
令|b|=n,b的n次方 =e, （gag逆）的n次方=e,
算出a的n次方=e
-6.思路ab,ba共轭
-9-14
- 需证明映射（左到右），满射（显然），单射（右到左）。
关键$$b^{-1}aH = H ，aH=bH $$ - |C|必有{e}，只需证明 |C|不等于1.
Ca必有{e,a} |Ca| | |G| ,所以p整除 |Ca|,所以 p 整除|C|=|G|-|Ca1|-|Ca2|...
共轭子群习题提示
7.因为 $$K_a=\{gag^{-1}\},g\in G$$ 取遍$$m\in G,K_a = \{mam^{-1}\} ,\{gm\}$$是m的一个置换，所以命题成立
8.$$\Rightarrow : \forall a \in N,g\in G ,gNg^{-1}=N,gag^{-1}\in N,K_a \subseteq N $$所以N包含所有N中元素的共轭类
$$\Leftarrow :if\ N=K_1+K_2+\cdots+K_n,\forall g \in G,gK_ig^{-1}=K_i,so\ gNg^{-1}=N$$
9、正规化子定义$$N_G(H) = \{g|gHg^{-1}=H\}$$ 人话:能和H交换的元素集合组成的群。
10、H是 正规化子的 正规子群--显然
$$eHe^{-1}=H, e \in N_G(H) $$, 逆元显然，封闭性显然。 或者用$$ab^{-1}$$来证，更简单
若$$H\unlhd K \le G$$，对任意$$k \in K , kH=Hk,k \in N_G(H).$$所以正规化子是H作为其正规子群的最大子群。
11、H的共轭子群的个数 $$|G|/|N_G(H)|$$，类比a共轭类（轨道）大小$$|G|/|C_a(G)|$$（稳定子群大小）
证法类似，https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E8%A7%84%E5%8C%96%E5%AD%90/9343738?fr=aladdin
12、关键点H的共轭子群和H同价（等势）
中心化子 和正规化子辨析
https://zhuanlan.zhihu.com/p/26077940
https://zhuanlan.zhihu.com/p/34104731