知乎 匡世珉 的 抽象代数回答
《数学妙啊书》 数学妙啊！妙！ - - 知乎
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一、正多面体的对称性
立方体有几个面呀？每个面是由几条棱围成的呀？答案是6和4
那有几条棱呢？每条棱有几个顶点呀？答案是12和2
那有几个顶点呢？每个顶点是几个面的交点呢？答案是8和3
你有注意到这三组数的乘积都是24吗？这是巧合吗
这个24就是立方体的摆放方式的总数呀
那再问你一个问题：把四个不同的小球从左到右排成一行，有几种不同排列方式呀
一共24种呀，这是4的阶乘
那么这个24和之前立方体的24有关吗？这个24的意义是，我们有24种方法把正方体摆在一个固定的位置。
对于面而言，我们有6个面可以选择作为朝下的面；确定了朝下的面之后，还有4种方向可供选择，所以总共就是6×4=24种摆放方法。
同样地，对于顶点而言，我们有8个顶点可以选择作为左前下(LFD)的顶点；确定这一点的位置之后，还有3种方向可以选择，即绕着这点所在的体对角线旋转0、120、240度，所以总共就是8×3=24种摆放方法。
我们也可以通过棱来算，12条棱可供选择，确定了一条棱的位置之后还可以旋转0、180度，所以总共有12×2种摆放方法。
所以这三个等式其实就是在用三种方法计算正方体的摆放方式而已，结果自然是一样的。
(周君珊的思考是：S4的元素可以是传统的{4绕点转2，3绕面转3，6*绕边转1，e}也可以是固定位置摆放，以面着地为例{4旋转，4旋转的陪集（前中后转动，左右转动）})
很trivial对吧？我还没说到抽代部分呢：
正方体全部摆放方式（这么说不严谨，实际上是『动作』，而不是『方式』）构成一个置换群，然后我们考虑这个群对6个面的自然作用。
容易看出，这个群作用是可迁的(transitive)；也就是说，每一个面可以被置换到任何一个面的位置；再换句话说，就是这个群作用只有一个轨道(orbit)，轨道的大小是6.
那么每个面有几个稳定元呢？显然有4个，即旋转0、90、180、270度这4种置换。
而我们知道：群的阶数除以元素稳定元的数量等于其轨道的大小，|G|=|Gx|*|Ox|所以群的大小就是6×4=24.
同样地，如果我们考虑这个群对顶点和棱的作用，就可以得到另外两个等式。
好吧，还是很trivial… 但我觉得用这个例子来理解群作用的各种关系还是不错的=w= 但我还没说完。
这个群的大小是24，但它是什么群呢？
由于24这个数字太特殊了，使人很容易联想到四个对象的置换群S4,其大小正是4×3×2×1=24.
这个联想是正确的：正方体的置换群正是S4,但怎么来理解呢？
考虑正方体的4条体对角线，考虑沿相对的棱的中点连线旋转180度的置换，如下：
注意到这个置换交换了其中两条体对角线的位置，而另外两条位置没有变（尽管方向变了）。
也就是说，这4条体对角线的任意两条都可以交换位置。
同时，确定了4条体对角线的位置之后，它们的方向只有一种可能性，即方向完全被位置决定。所以就是S4啦。
由于正八面体与正方体是对偶的(dual)，所以正八面体的置换群也是S4.
对于正四面体，考虑其顶点的置换。由于任意三个顶点可以互换，但不能只交换两个顶点，所以其置换群是A4.
对于正十二面体（以及与其对偶的正二十面体），其置换群是A5. 没错，就是那个著名的使得五次方程没有根式解的单群……（我第一次知道这个的时候惊呆了。如果不是学了群论，我可能永远想象不到五次方程与正十二面体之间有联系。）
来做个小练习：正二十面体有多少条棱？
答案是30条。
因为A5的阶数是60，每条棱的稳定元有两个，而且群作用是可迁的，所以棱数等于轨道的大小，是60/2=30.
再来做个小练习：标准的足球上黑色块与白色块各有多少？
答案是：黑色块12个，白色块20个。
为什么呢？因为这其实是一个正二十面体，只不过顶点都被砍掉了，这些黑色的正五边形就是伤口啊TuT 所以黑色块的数量等于正二十面体的顶点数。
多少个顶点呢？因为A5的阶数是60，每个顶点的稳定元有5个，而且群作用是可迁的，所以顶点数等于轨道的大小，是60/5=12.
二、奇数偶数加法
1、
奇数 + 奇数 = 偶数
偶数 + 偶数 = 偶数
奇数 + 偶数 = 奇数
偶数 + 奇数 = 奇数
2、
(-1)*(-1) = 1
1*1 = 1
(-1)*1=-1
1*(-1)=-13、群C2
aa=e
ee=e
ae=a
ea=a
例子：a是『向后转』，e是『立正』
三、奇妙机器
有一个无聊的代数学家，他造了一个无聊的机器。机器上有三个按钮，分别贴着『0』、『1』、『2』的标签。
这个机器是用来做模3加法的——当你先后按下0和1时，1的按钮就会亮；当你按两次2时，1的按钮就会亮。
有一天，他的同事几何学家需要给学生讲『旋转』的概念。
几何学家把代数学家的机器借了去，把『0』、『1』、『2』
分别换成了『旋转0度』、『旋转120度』、『旋转240度』，直接就可以使用了！（群同态\同构）
后来，有个调皮的小朋友想给代数学家制造点麻烦——他偷偷交换了『1』和『2』的标签。结果机器照样可以正常使用！！算出来的结果仍然是对的！！（自同构）当然，这个『机器』的比喻还可以用来讲环、模和伽罗瓦理论里的一些概念（包括根的对称性）。想出这个讲解方法时我自己都很激动， 原因有两点：
一是可以让刚接触群的小朋友很形象地理解『同态u002F同构』的定义就是换标签；
二是可以把『结构』这个抽象概念 具体化---机器的电路构造。
不管标签怎么换，电路都没有变。而当我们谈论数字和角度时，我们都只是在谈论标签罢了。为了研究这个更加本质的电路，我们就必须抛开所有的标签，直接描述电路的构成——这里的电路正是群。
当小朋友感受到『看似不同的数学对象之间其实有深层次联系』之后，『为什么要定义和使用“群”这个概念』这个问题也就自然得到了回答。