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纯扩域：B/F为扩域， B=F(d)， $$d\in B ,d^m \in F$$时把B称为F的m型纯扩域.
根式塔：不断扩域形成的域列， $$F=F_1\subseteq F_2\subseteq F_3\cdots \subseteq F_{r+1}$$ ，如果每个扩域$$F_{i+1}/F_i$$（i=1,2, …,r）都是一个纯扩域，则称此域列为一个根式塔。
于是，数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数，一定包括在某个根式塔的 $$F_{r+1}$$之中。由此，伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。
根式可解：设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内，此方程的全部根都包含在域E之内，且E是包含f(x)全部根的最小域（此时称E为F上多项式f(x)的根域），如果存在根式塔$$F=F_1\subseteq F_2\subseteq F_3\cdots \subseteq F_{r+1}$$，且 $$E\subset F_{r+1} $$ ，称域F上的方程f(x)根式可解。
域的自同构映射：前面我们介绍了域的同构，知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的，我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上，这种自同构映射未必只有一个，我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut（E）。
定义Aut（E）上两个元素$$f_1$$ 和$$f_2$$之间的“乘法”为$$ f_1*f_2(a) = f_1(f_2(a))$$ ，证明Aut（E）在这个“乘法”下构成群。
伽罗瓦群：E/F是扩域，且E是系数在F内的某个多项式方程的根域（根域参见前面的说明，以后会将这种根域叫做F的正规扩域），E上全部自同构映射的集合Aut（E）中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut（E）的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。
下面就是见证奇迹的时刻了：
设 $$f(x)\in F(x)$$（意思是 f(x)的系数都在 F 内），则对于任意 $$\sigma \in G(E/F) $$ ，必然有 $$\sigma (f(x)) =f(x)$$ ，这是因为 $$\sigma $$ 作用在 F 上是恒等映射；同时，设方程 f(x)=0 有n个根，分别是 $$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$$，那么 $$f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n)$$ ，于是$$\sigma(f(x))=(x-\sigma(\alpha_1))\cdots(x-\sigma(\alpha_n)) = f(x) = (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n) $$ 。这说明 $$\sigma (\alpha_1),\cdots \sigma (\alpha_n)$$只是$$\alpha_1,\cdots,\alpha_n$$的一组置换（意思是，还是这n个数，只是位置发生了变化）！
看到了么，伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换！