伽罗瓦理论之美

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根式解的定义

纯扩域：B/F为扩域， B=F(d)， d∈B,dm∈Fd\in B ,d^m \in F时把B称为F的m型纯扩域.

根式塔：不断扩域形成的域列， F=F1⊆F2⊆F3⋯⊆Fr+1F=F_1\subseteq F_2\subseteq F_3\cdots \subseteq F_{r+1} ，如果每个扩域Fi+1/FiF_{i+1}/F_i（i=1,2, …,r）都是一个纯扩域，则称此域列为一个根式塔。

于是，数域F中的数通过加减乘除和开方运算所能得到的数，一定包括在某个根式塔的 Fr+1F_{r+1}之中。由此，伽罗瓦给出了根式可解的更清晰优美的定义。

根式可解：设一元多次方程f(x)的全部系数都包含在域F之内，此方程的全部根都包含在域E之内，且E是包含f(x)全部根的最小域（此时称E为F上多项式f(x)的根域），如果存在根式塔F=F1⊆F2⊆F3⋯⊆Fr+1F=F_1\subseteq F_2\subseteq F_3\cdots \subseteq F_{r+1}，且 E⊂Fr+1E\subset F_{r+1} ，称域F上的方程f(x)根式可解。

伽罗瓦群

域的自同构映射：前面我们介绍了域的同构，知道了两个域同构意味着两个域之间存在着满足同构关系的映射。显然一个域一定是和自己同构的，我们把某个域E到自身的同构映射叫做自同构映射。事实上，这种自同构映射未必只有一个，我们把全部自同构映射组成的集合记为Aut（E）。

定义Aut（E）上两个元素f1f_1 和f2f_2之间的“乘法”为f1∗f2(a)=f1(f2(a)) f_1*f_2(a) = f_1(f_2(a)) ，证明Aut（E）在这个“乘法”下构成群。

伽罗瓦群：E/F是扩域，且E是系数在F内的某个多项式方程的根域（根域参见前面的说明，以后会将这种根域叫做F的正规扩域），E上全部自同构映射的集合Aut（E）中使F中元素不变的那些映射形成的子集构成Aut（E）的一个子群，称为E在F上的伽罗瓦群，记为G（E/F）。

根式解与伽罗瓦群

下面就是见证奇迹的时刻了：

设 f(x)∈F(x)f(x)\in F(x)（意思是 f(x)的系数都在 F 内），则对于任意 σ∈G(E/F)\sigma \in G(E/F) ，必然有 σ(f(x))=f(x)\sigma (f(x)) =f(x) ，这是因为 σ\sigma 作用在 F 上是恒等映射；同时，设方程 f(x)=0 有n个根，分别是 α1,⋯,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_n，那么 f(x)=(x−α1)⋯(x−αn)f(x)=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n) ，于是σ(f(x))=(x−σ(α1))⋯(x−σ(αn))=f(x)=(x−α1)⋯(x−αn)\sigma(f(x))=(x-\sigma(\alpha_1))\cdots(x-\sigma(\alpha_n)) = f(x) = (x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_n) 。这说明 σ(α1),⋯σ(αn)\sigma (\alpha_1),\cdots \sigma (\alpha_n)只是α1,⋯,αn\alpha_1,\cdots,\alpha_n的一组置换（意思是，还是这n个数，只是位置发生了变化）！

看到了么，伽罗瓦群中的每个映射都对应着方程根的一组置换！

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