(拓扑)基、子基、邻域基的定义与小例子
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https://www.zhihu.com/question/290640567
拓扑基是指任何开集都可写成这个集合里的元素的并；
子基是指这个集合里的元素的有限交全体生成一个拓扑基。
所谓拓扑子基在本质上就是想体现生成的想法，也就是随便给你一些集合(当然需要是一个覆盖)，由它们生成的最小拓扑。这个想法非常自然。
而拓扑基的话是更加常用的概念，它要求所有的开集都可以由基的并集运算给出。
https://www.zhihu.com/question/380362026/answer/1086386545
基生成的拓扑，就是基中元素的无穷并。（RMK：由于无穷个元素中可以是除有限个以外均为空集，所以，这个表述自然包含了有限并）
子基生成的拓扑，就是子基中元素有限交的无穷并。
就生成的方式而言，基更简单直接，而子基更曲折间接。这种根本的差异来自于：基的结构更加良好。也就是说，基有附加的结构约束。（相比而言，子基本身除了要求是开集族以外，没有任何约束）
基的第二条（2）这条根本的约束。一方面，可以把基看成一种特殊的子基。
另一方面，也决定了基具备子基所不具备的良好性质：基中某些元素的有限交，本身就可以看作基中另一些元素的无穷并。
这条性质，使得“基中元素的有限交”的无穷并即是“基中元素的无穷并”的无穷并，也就是基中元素的无穷并了。
回到题主的问题，为什么要分别定义基和子基？
一方面，基生成拓扑（开集族）的过程直观而简练。因此，基的性质很多时候直接反映了开集族的性质。
后者被称为“拓扑性质”，是点集拓扑学的主要研究对象（几乎任何有关开集的性质都可以转到基上考虑）。
另一方面，子基生成拓扑的过程较复杂，但子基本身的结构简单而无要求。
在数学语言的角度看来，子基反而才是“生成”一个拓扑的一般结构。因为子基生成的拓扑，即是包含子基的最小拓扑（即最少，也是最必要的那些开集全体），也即是所有包含子基的拓扑之交。
如果你看过一些代数内容，了解由子集合生成的子群、正规子群，子集合生成的理想，应该对这种生成方式感到亲切。另外有时候，有些断言（比如Alexander子基定理）反而在子基这种弱条件下才显得不平凡。